发布时间 : 星期二 文章【金版教程】高考数学(文)二轮复习专题整合突破练习：圆锥曲线中的定点定值和最值问题含答案更新完毕开始阅读
2my1y2＋4?y1＋y2?y1y2y1y2
k1＋k2＝＋＝＋＝＝
x1＋2x2＋2my1＋4my2＋4?my1＋4??my2＋4?－8mp＋8mp
＝0.
?my1＋4??my2＋4?
y1－y0
(2)设点P(x0，y0)，直线PA：y－y1＝(x－x1)，当x＝－2时，
x1－x0
－4p＋y1y0
yM＝，
y1＋y0
－4p＋y2y0
同理yN＝.
y2＋y0
－4p＋y2y0－4p＋y1y0→→因为OM·ON＝2，所以4＋yNyM＝2，·＝－2， y2＋y0y1＋y016p2－4py0?y2＋y1?＋y20y1y2
＝－2， 2
y2y1＋y0?y2＋y1?＋y0
2
16p2－8p2my0－4py0
＝－2，
－4p＋2pmy0＋y20
1
p＝2，抛物线C的方程为y2＝x.
5．[2015·贵阳监测]已知椭圆C的两个焦点是(0，－3)和(0，3)，
?3?
并且经过点?，1?，抛物线E的顶点在坐标原点，焦点恰好是椭圆C
?2?
的右顶点F.
(1)求椭圆C和抛物线E的标准方程；
(2)过点F作两条斜率都存在且互相垂直的直线l1、l2，l1交抛物线→·→的最小值． E于点A、B，l2交抛物线E于点G、H，求AGHB
y2x2
解 (1)设椭圆C的标准方程为a2＋b2＝1(a>b>0)，焦距为2c，则由题意得c＝3，2a＝b2＝a2－c2＝1，
y22
∴椭圆C的标准方程为4＋x＝1.
32＋?1＋3?＋4
32
＋?1－3?＝4，∴a＝2，4
∴右顶点F的坐标为(1,0)．
设抛物线E的标准方程为y2＝2px(p>0)， p
∴2＝1,2p＝4，∴抛物线E的标准方程为y2＝4x.
1
(2)设l1的方程：y＝k(x－1)，l2的方程：y＝－k(x－1)，A(x1，y1)、B(x2，y2)、G(x3，y3)、H(x4，y4)．
??y＝k?x－1?由?2消去y得：k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0， ??y＝4x
4
∴Δ＝4k4＋16k2＋16－4k4>0，x1＋x2＝2＋k2，x1x2＝1. 同理x3＋x4＝4k2＋2，x3x4＝1， →·→＝(AF→＋FG→)·→＋FB→) ∴AGHB(HF→·→＋AF→·→＋FG→·→＋FG→·→ ＝AFHFFBHFFB→|·→|＋|FG→|·→| ＝|AF|FB|HF＝|x1＋1|·|x2＋1|＋|x3＋1|·|x4＋1| ＝(x1x2＋x1＋x2＋1)＋(x3x4＋x3＋x4＋1) 4
＝8＋k2＋4k2 ≥8＋2
42
4k＝16， k2·
4→·→有最小值16. 当且仅当k2＝4k2，即k＝±1时，AGHB
x2y2
6．[2015·贵州八校联考(二)]过椭圆a2＋b2＝1的右焦点F作斜率k1??→→??1，＝－1的直线交椭圆于A，B两点，且OA＋OB与a＝3共线．
?
?
(1)求椭圆的离心率；
→＝mOA→＋nOB→(m，n∈R)，证明：(2)设P为椭圆上任意一点，且OPm2＋n2为定值．
解 (1)设AB：y＝－x＋c，直线AB交椭圆于两点，A(x1，y1)，B(x2，
y2)
222222??bx＋ay＝ab??b2x2＋a2(－x＋c)2＝a2b2，(b2＋a2)x2－2a2cx＋?y＝－x＋c?
a2c2－a2b2＝0
a2c2－a2b22a2c
x1＋x2＝22，x1x2＝22，
a＋ba＋b
1??→→?OA＋OB＝(x1＋x2，y1＋y2)与a＝1，3?共线，
?
?
3(y1＋y2)－(x1＋x2)＝0,3(－x1＋c－x2＋c)－(x1＋x2)＝0，即 3c26ac6222
x1＋x2＝2，a＝3b，c＝a－b＝3，e＝a＝3.
(2)证明：a2＝3b2，椭圆方程为x2＋3y2＝3b2，设M(x，y)为椭圆上→＝(x，y)，OM→＝mOA→＋nOB→，(x，y)＝(mx＋nx，my任意一点，OM121＋ny2)，点M(x，y)在椭圆上，(mx1＋nx2)2＋3(my1＋ny2)2＝3b2，即m2(x21
2222
＋3y21)＋n(x2＋3y2)＋2mn(x1x2＋3y1y2)＝3b.
3c232212
∴x1＋x2＝2，a＝2c，b＝2c， a2c2－a2b232
x1x2＝22＝8c，
a＋b
∴x1x2＋3y1y2＝x1x2＋3(－x1＋c)(－x2＋c)＝4x1x2－3c(x1＋x2)＋3c2
3292
＝2c－2c＋3c2＝0，
22222
将x21＋3y1＝3b，x2＋3y2＝3b代入得
3b2m2＋3b2n2＝3b2，即m2＋n2＝1.