发布时间 : 星期一 文章[金版学案]2015届高考数学总复习 基础知识名师讲义 第二章 第十节函数与方程 文更新完毕开始阅读
第十节 函数与方程
1．结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存
在性及根的个数． 2．根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解．
知识梳理 一、函数的零点
1．定义：一般的，如果函数y＝f(x)在________________，即 f(a)＝0，则__________叫做这个函数的零点．
2．函数的零点存在性定理：若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图象是________，并且在______________，即__________________，则函数y＝f(x)在________________，即相应的方程f(x)＝0在区间(a，b)内至少有一个实数根．
3．函数的零点具有下列性质：当它________(不是偶次零点)时函数值________，相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．
二、二分法
1．定义：对于区间[a，b]上图象连续不断的，且f(a)· f(b)<0 的函数y＝f(x)，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，从而得到零点近似值的方法，叫做二分法．
2．用二分法求函数零点的近似值的步骤．
第一步：________________________________________ 第二步：________________________________________ 第三步：________________________________________ (1)若_________，则x1就是函数f(x)的零点；
(2)若________________，则令b＝x1[此时零点x0∈?a，x1?]； (3)若________________，则令a＝x1[此时零点x0∈?x1，b?].
第四步：判断是否达到精确度ε，即若________，则得到零点近似值a(或b)．否则，重复第二、三、四步．
注意：(1)在二分法求方程解的步骤中，初始区间可以选的不同，不影响最终计算结果，
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所选的初始区间的长度尽可能短，但也要便于计算；
(2)二分法的条件f(a)·f(b)<0表明用二分法求函数的近似零点都是指变号零点． 三、一元二次方程根的分布问题
关键是抓住方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根所在区间端点的函数值的符号、判别式及对称轴的位置这三点来考虑．
二次方程f(x)＝ax2＋bx＋c＝0的实根分布及条件：
(1)方程f(x)＝0的两根中一根比r大，另一根比r小?a·f(r)<0；
??b
(2)二次方程f(x)＝0的两根都大于r??－2a>r，
??a·f?r?>0；
Δ＝b2－4ac>0，
??p<－2ba (3)二次方程f(x)＝0在区间(p，q)内有两根?? a·f?q?>0，??a·f?p?>0； 一、1.实数a处的值等于零 a Δ＝b2－4ac>0， (4)二次方程f(x)＝0在区间(p，q)内只有一根?f(p)·f(q)<0或f(p)＝0或f(q)＝0，检验另 一根在(p，q)内成立． 2.连续不间断的 区间端点的函数值符号相反 f(a)·f(b)<0 区间(a，b)内至少有一个零点 3.通过零点 变号 二、2.确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)<0，给定精确度ε 求区间 (a，b)的中点x1 计算f(x1) (1)f(x1)＝0 (2)f(a)·f(x1)< 0 (3)f(x1)·f(b)<0 |a－b|<ε 基础自测 1．根据表中的数据，可以判定方程ex－x－2＝0的一个根所在的区间为( ) x ex x＋2 A.(－1,0) －1 0.37 1 0 1 2 1 2.72 3 B．(0,1) 2 7.39 4 3 20.09 5 2 C．(1,2) D．(2,3) 解析：设f(x)＝ex－(x＋2)，则由题设知f(1)＝－0.28＜0，f(2)＝3.39＞0，故有一个根在区间(1,2)内． 答案：C 2．(2013·河北名师俱乐部一模)下列函数中，在(－1,1)上有零点且单调递增的是( ) A．y＝log2(x＋2) B．y＝2x－1 1C．y＝x2－ 2D．y＝－x2 解析：在(－1,1)上递增的函数只有y＝log2(x＋2)和y＝2x－1，又y＝log2(x＋2)的零点为x＝－1，y＝2x－1的零点为x＝0.故选B. 答案：B 3．如果函数f(x)＝x2＋mx＋m＋2的一个零点是0，则另一个零点是________． 解析：依题意知：m＝－2.∴f(x)＝x2－2x. ∴方程x2－2x＝0的另一个根为2，即函数f(x)的另一个零点是2. 答案：2 4．方程x2－2ax＋4＝0的两根均大于1，则实数a的取值范围是___________________________________________． 解析：(法一)利用韦达定理． 设方程x2－2ax＋4＝0的两根为x1，x2， ?x1－1??x2－1?＞0，?? 则??x1－1?＋?x2－1?＞0，??Δ≥0， 5 解得2≤a＜. 2 (法二)利用二次函数图象的特征． Δ≥0，?? 设f(x)＝x2－2ax＋4，则?f?1?＞0， ??a＞1， 5 解得2≤a＜. 2 3 52，? 答案：??2? 1．(2012·湖北卷)函数f(x)＝xcos x2在区间[0,4]上的零点个数为( ) A．4 π 解析：由f(x)＝0，得x＝0或cos x2＝0，即x2＝kπ＋，k∈Z.又∵x∈[0,4]，∴k＝0,1,2,3,4.∴ 2 共有6个解．故选C. 答案：C 2．(2013·天津卷)函数f(x)＝2x|log0.5 x|－1的零点个数为( ) A．1 1?x1 解析：2x|log0.5x|－1＝0?|log0.5x|＝x?|log0.5x|＝??2?，画这两个函数的图象，由图可知2选项B正确． B．2 C．3 D．4 B．5 C．6 D．7 答案：B 1 1．(2012·东北三省四市教研协作体调研)若a＞2，则函数f(x)＝x3－ax2＋1在(0,2)内零 3 点的个数为( ) 4 A．3 B．2 C．1 D．0 解析：f′(x)＝x2－2ax，由a＞2可知，f′(x)在x∈(0,2)恒为负，即f(x)在(0,2)内单调递 减．又f(0)＝1＞0，f(2)＝8 3 －4a＋1＜0，∴f(x)在(0,2)只有一个零点．故选C. 答案：C 2．(2013·湛江一模)函数f(x)＝|x－2|－ln x在定义域内零点的个数为( ) A．0 B．1 C．2 D．3 解析：由题意，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)； 由函数零点的定义，f(x)在(0，＋∞)内的零点即是方程|x－2|－lnx＝0的根． 令y1＝|x－2|，y2＝ln x(x＞0)，在一个坐标系中画出两个函数的图象： 由图得，两个函数图象有两个交点， 故方程有两个根，即对应函数有两个零点．故选C. 答案：C 5