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《复变函数》与《积分变换》课程教学大纲
课程编码：08
课程名称（中、英文）：复变函数 Complex Function Theory 积分变换 Integral Transformation
先修课程：高等数学
总学时：48 （授课学时： 48 上机学时： 0 实验学时： 0 ） 一、课程的性质和任务：
学科基础必修课，本课程介绍复平面上的区域以及复变函数的极限与连续等概念、解析函数的理论和方法；介绍积分变换的基本内容及应用。
二、课程教学内容的基本要求、重点和难点及学时分配 1.复数与复变函数（ 6 学时）
基本要求:理解复数的概念，掌握复数的表示方法；掌握复数的四则运算及乘幂与方根；了解复平面上点集的基本概念，理解区域的概念；掌握复变函数的概念，了解复变函数极限与连续性；了解复球面与无穷远点的概念。
重点: 复数的表示方法,复数的四则运算及乘幂与方根，区域,复变函数的概念。
难点: 复数的乘幂与方根、区域、复变函数极限与连续性。 2.解析函数（ 6 学时）
基本要求:理解解析函数的概念，掌握柯西－黎曼条件；掌握初等解析函数：指数函数和三角函数的概念，了解双曲函数的概念；理解初等多值函数即根式函数和对数函数的概念，了解幂函数、指数函数和反函数的概念；掌握求根式函数
nZ和对数函数lnZ的单值解析分支的方法。
重点: 解析函数，柯西－黎曼条件；根式函数和对数函数；幂函数、指数函数；根式函数nZ和对数函数lnZ的单值解析分支。
难点: 柯西－黎曼条件；求根式函数nZ和对数函数lnZ的单值解析分支的方法。
3.复变函数的积分（ 8 学时）
基本要求:了解复积分的概念及其简单性质；掌握柯西-古萨基本定理、复合闭路原理及其应用；理解柯西积分公式及其推论，掌握利用柯西积分公式求积分的方法；理解解析函数的无穷可微性，掌握解析函数的高阶导数公式及应用；了解解析函数与调和函数的关系，会求共轭调和函数及其构成的解析函数。
重点: 柯西-古萨基本定理，复合闭路原理；柯西积分公式及其求积分的方法；解析函数的高阶导数公式及应用；共轭调和函数及其构成的解析函数。
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难点: 复合闭路原理；用柯西积分公式求积分的方法；解析函数的高阶导数公式及应用；求共轭调和函数及其构成的解析函数。
4.解析函数的幂级数表示法（ 10 学时）
基本要求:了解复级数的概念和基本性质；理解幂级数的敛散性，和的解析性，掌握收敛半径的求法及幂级数的运算和性质；掌握解析函数的泰勒展式，会求一些初等函数的泰勒展式；理解解析函数的罗朗展式，会求简单的解析函数在孤立奇点领域内的罗朗展式。
重点: 幂级数收敛半径的求法，解析函数的泰勒展式，解析函数的罗朗展式。 难点: 求解析函数在孤立奇点领域内的罗朗展式。 5.留数（ 6 学时）
基本要求:理解解析函数的孤立奇点的概念；理解孤立奇点的三种类型的等价定理，会判断孤立奇点的类型；了解解析函数在无穷远点的性质；掌握留数的定义及留数定理，及留数的求法；会用留数定理计算复积分；会用留数定理计算下面三种形式的定积分
2????0R(cos?,sin?)d?型，
???R(x)dx型，
?????R(x)eaixdx(a?0)型。
重点: 解析函数的孤立奇点的概念；判断孤立奇点的类型；解析函数在无穷
远点的性态；留数的求法；用留数计算复积分。
难点：判断孤立奇点的类型；留数的求法；用留数定理计算下面三种形式的定积分?R(cos?,sin?)d?型，
02????????R(x)dx型，?R(x)eaixdx(a?0)型。
??6.积分变换（ 12学时）
基本要求：理解傅里叶变换及拉普拉斯变换的概念；掌握傅氏及拉氏变换的求法；了解傅里叶变换及拉普拉斯变换的性质；了解卷积概念及拉普拉斯逆变换的概念。
重点：傅里叶变换及拉普拉斯变换的概念；傅氏及拉氏变换的求法。 难点：傅氏变换、拉氏变换及拉氏逆变换的求法；傅里叶变换及拉普拉斯变换的性质。
三、能力培养要求
复变函数与积分变换的理论和方法在数学、自然科学和工程技术中有着广泛的应用，是解决诸如流体力学、电磁学、热学、弹性理论中的有力工具。通过本课程的学习，能正确理解和掌握复平面上的区域以及复变函数的极限与连续等概念，掌握解析函数的理论和方法及傅氏变换及拉氏变换的方法及应用。逐步培养利用这些概念和方法解决实际问题的能力。
四、教材与参考书目
1.教材：《复变函数》（第四版）西安交通大学高等数学教研室编 高等教育
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出版社
《积分变换》（第四版）东南大学数学系 张远林编 高等教育出版社 2.参考书目：钟玉泉编《复变函数论》高等教育出版社（第三版） 余家荣编《复变函数》高等教育出版社（第二版）
杨战民等：《复变函数与积分变换》，西安电子科技大学出版社
五、有关说明
本科程适用于信电、机电等专业。 六、课程建设与改革摘要
在教学过程中，由以教授理论知识为主，逐步转向在教授理论知识的同时，加强数学研究方法的教学，提高学生用数学的方法研究相关专业和实际问题的能力，主要是应用能力的培养。在教学手段上，借助多媒体教学工具进行自引导式教学，培养学生的自学能力及发现问题解决问题的能力。
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《复变函数》与《积分变换》课程简介
课程名称（中、英文）：复变函数 Complex Function Theory 积分变换 Integral Transformation
课程编码：08
课程简介：本课程介绍复平面上的区域以及复变函数的极限与连续等概念及解析函数的理论和方法；介绍积分变换的基本内容及应用。
考核形式：闭卷笔试 教材与参考书目： 1.教材：
《复变函数》（第四版）西安交通大学高等数学教研室编 高等教育出版社 《积分变换》（第四版）东南大学数学系 张元林编 高等教育出版社 2.参考书目：钟玉泉编《复变函数论》高等教育出版社（第三版） 余家荣编《复变函数》高等教育出版社（第二版）
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