发布时间 : 星期一 文章第12讲2013高考复习教学案之直线与圆的方程及应用更新完毕开始阅读
第12讲
直线与圆的方程及应用
解析几何是江苏高考必考题之一，它包含两个C级考点，正常情况下，考一小(填空)一大(解答)．小题常涉及直线方程及应用，圆锥曲线方程及其性质，有一定的计算量；大题往往与圆有关，涉及到方程，位置关系、定点、定值、定线等．圆与圆锥曲线的综合考查，对数学思想方法要求比较高，能灵活使用待定系数法、定义法等求方程，能用配方法、换元法等，结合图形将问题进行转化，通过函数、方程、不等式等思想来解决问题．
1. 理解直线的斜率和倾斜角的概念；掌握过两点的直线斜率的计算公式；了解直线的倾斜角的范围；理解直线的斜率和倾斜角之间的关系，能根据直线的倾斜角求出直线的斜率．
2. 掌握直线方程的几种形式(点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式)的特点与适用范围；能根据问题的具体条件选择恰当的形式求直线的方程；了解直线方程的斜截式与一次函数的关系．
3. 能根据斜率判定两条直线平行或垂直．
4. 了解二元一次方程组的解与两直线的交点坐标之间的关系，体会数形结合思想；能用解方程组的方法求两直线的交点坐标．
5. 掌握两点间的距离公式和点到直线的距离公式及其简单应用；会求两条平行直线间的距离．
6. 掌握圆的标准方程与一般方程，能根据问题的条件选择恰当的形式求圆的方程；理解圆的标准方程与一般方程之间的关系，会进行互化．
7. 能根据直线与圆的方程判断其位置关系(相交、相切、相离)；能根据圆的方程判断圆与圆的位置关系(外离、外切、相交、内切、内含)．能用直线和圆的方程解决一些简单的问题．
1. 与直线x＋3y－1＝0垂直的直线的倾斜角为________．
2.过点(2,1)且在两坐标轴截距相等的直线方程是________________．
3.直线3x－y＋m＝0与圆x2＋y2－2x－2＝0相切，则实数m＝________.
4.在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2＋y2＝4上有且仅有四个点到直线12x－5y＋c＝0的距离为1，则实数c的取值范围是________．
【例1】 已知圆C过点(1,0)，且圆心在x轴的正半轴上，直线l：y＝x－1被圆C所截得的弦长为22，求过圆心且与直线l垂直的直线的方程．
【例2】 如图，平面直角坐标系xOy中，△AOB和△COD为两等腰直角三角形，A(－2,0)，C(a,0)(a>0)．△AOB和△COD的外接圆圆心分别为M，N.
(1) 若⊙M与直线CD相切，求直线CD的方程； (2) 若直线AB截⊙N所得弦长为4，求⊙N的标准方程；
(3) 是否存在这样的⊙N，使得⊙N上有且只有三个点到直线AB的距离为2，若存在，求此时⊙N的标准方程；若不存在，说明理由．
【例3】 已知圆C：x2＋(y－3)2＝4，一动直线l过点A(－1,0)与圆C相交于P、Q两点，M是PQ的中点，l与直线m：x＋3y＋6＝0相交于点N.
(1) 求证：当l与m垂直时，l必过圆心C； (2) 当PQ＝23时，求直线l的方程；
→→
(3) 探索AM·AN的值是否与直线l的倾斜角有关，若无关，请求出其值；若有关，请说明理由．
xy2
【例4】 已知椭圆E：2＋2＝1(a>b>0)的离心率为，且过点P(2，2)，设椭圆E
ab2
的右准线l与x轴的交点为A，椭圆的上顶点为B，直线AB被以原点为圆心的圆O所截得45的弦长为.
5
(1) 求椭圆E的方程及圆O的方程；
(2) 若M是准线l上纵坐标为t的点，求证：存在一个异于M的点Q，对于圆O上的MN
任意一点N，有为定值；且当M在直线l上运动时，点Q在一个定圆上．
NQ
2
2
1. (2011·安徽)若直线3x＋y＋a＝0过圆x＋y＋2x－4y＝0的圆心，则a的值为________．
22
2.(2011·重庆)在圆x＋y－2x－6y＝0内，过点E(0,1)的最长弦和最短弦分别是AC和BD，则四边形ABCD的面积为________．
3.(2011·湖北)过点(－1，－2)的直线l被圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0截得的弦长为2，则直线l的斜率为________．
4.(2010·江西)直线y＝kx＋3与圆(x－2)2＋(y－3)2＝4相交于M，N两点，若|MN|≥23，则实数k的取值范围是________．
5.(2011·福建理) 已知直线l：y＝x＋m，m∈R.
(1) 若以点M(2,0)为圆心的圆与直线l相切于点P，且点P在y轴上，求该圆的方程； (2) 若直线l关于x轴对称的直线为l′，问直线l′与抛物线C：x2＝4y是否相切？说明理由．
6.(2011·陕西)如图，设P是圆x2＋y2＝25上的动点，点D是P在x轴上投影，M为PD4
上一点，且|MD|＝|PD|.
5
(1) 当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程； 4
(2) 求过点(3,0)且斜率为的直线被C所截线段的长度．
5
22
(2011·南京三模)(本小题满分16分)在平面直角坐标系xOy中，已知定点A(－4,0)、1B(4,0)，动点P与A、B两点连线的斜率之积为－.
4
(1) 求点P的轨迹方程；
(2) 设点P的轨迹与y轴负半轴交于点C.半径为r的圆M的圆心M在线段AC的垂直平分线上，且在y轴右侧，圆M被y轴截得的弦长为3r. ① 求⊙M的方程；
② 当r变化时，是否存在定直线l与动圆M均相切？如果存在，求出定直线l的方程；如果不存在，说明理由．
解：(1) 设P(x，y)，则直线PA、PB的斜率分别为k1＝yy1x2y2
由题意知·＝－，即＋＝1(x≠±4)．
x＋4x－44164x2y2
所以动点P的轨迹方程是＋＝1(x≠±4)．(4分)
164(说明：没有范围扣1分)
(2) ①由题意知C(0，－2)，A(－4,0)，
所以线段AC的垂直平分线方程为y＝2x＋3.(6分)
yy、k2＝.(2分) x＋4x－4
设M(a,2a＋3)(a＞0)，则⊙M的方程为(x－a)2＋(y－2a－3)2＝r2. 圆心M到y轴的距离d＝a，由r＝d＋
2
2
?3r?2，得a＝r. ?2?2
r?222
所以⊙M的方程为?x－＋(y－r－3)＝r.(10分)
?2?② 假设存在定直线l与动圆M均相切． 当定直线的斜率不存在时，不合题意． 当斜率存在时，设直线l：y＝kx＋b，
则?k×r－r－3＋b??2?
1＋k
2
＝r对任意r＞0恒成立．(12分)
k2由??－1?r＋?b－3??＝r1＋k， ??2??
k?2r2＋(k－2)(b－3)r＋(b－3)2＝(1＋k2)r2. 得?－1?2?
?k－1?＝1＋k，???2?所以??k－2??b－3?＝0，
???b－3?＝0.
2
2
2
???k＝－，?k＝0，
3?解得或?
?b＝3??
4
?b＝3.
所以存在两条直线y＝3和4x＋3y－9＝0与动圆M均相切．(16分)