发布时间 : 星期一 文章(整理)4第四章级数.更新完毕开始阅读
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1 洛朗级数
形如
n????c?n(z?a)?nn????c??n?1?1n(z?a)??cn(z?a)n
nn?0?n???c?n(z?a)??cn(z?a)n (4.4.1)
n?0?的级数称为洛朗(Laurent)级数，其中a及cn(n?0,?1,?)都是复常数。
当c?n?0(n?1,2,?)时，洛朗级数就是幂级数。 由于这种级数没有首项，所以对它的敛散性我们无法象前面讨论的幂级数那样用前n项和的极限来定义。容易看出洛朗级数是双边幂级数，即它是由正幂项(包含常数项)级数 和负幂项级数
?cn?0??n(z?a)n (4.4.2)
?cn?1?n(z?a)?n (4.4.3)
两部分组成。若这两个级数都在点z?z0收敛，则称洛朗级数(4.4.1)在点z?z0收敛。
级数(4.4.2)就是我们上节所述的幂级数，设其收敛半径为R，则级数(4.4.2)在圆z?a?R内绝对收敛及内闭一致收敛，和函数在圆z?a?R内解析。
对级数(4.4.3)，若设??1，则(4.4.3)成为?的幂级数 z?a
?cn?1??n?n。 (4.4.4)
设(4.4.3)的收敛半径为?。若??0，则(4.4.3)在???内绝对收敛及内闭一致收敛。因此(4.4.3)在
r?1??z?a???内绝对收敛及内闭一致收敛，和函数在r?z?a???内解析。
显然，当且仅当r?R时，级数(4.4.2)与级数(4.4.3)才有公共的收敛区域：圆环r?z?a?R。 所以，依据上述分析，对于洛朗级数(4.4.1)，更仔细地说，只有以下两种情况： （1）r?R。r?R时洛朗级数(4.4.1)处处发散，r?R时洛朗级数(4.4.1)除圆周z?a?R上的点外是发散的，而在圆周z?a?R上则有三种可能性：处处收敛；处处发散；一部分收敛而另一部分发散。
（2）r?R。这时洛朗级数(4.4.1)在圆环H:r?z?a?R内绝对收敛及内闭一致收敛（特别，当，在H外发散。在这种情况下，r?0，R???时，洛朗级数(4.4.1)在复平面C上除点a外处处收敛）
洛朗级数(4.4.1)的收敛范围是一个圆环，称为洛朗级数的收敛圆环（当R???时，理解为广义圆环
。根据Weierstrass定理4.1.9，洛朗级数(4.4.1)的和函数在其收敛圆环H内是解析的，r?z?a???）
且可在H内逐项求任意阶导数。
我们称级数(4.4.2)为洛朗级数(4.4.1)的和函数在点a的解析部分或正则部分，称级数(4.4.3) 为洛朗级数(4.4.1)的和函数在点a的主要部分或奇异部分。
?(z)，若洛朗级数(4.4.1)的和函数为f(z)，它在点a的解析部分和主要部分的和函数分别为?(z)，即
?(z)??cn(z?a)n (z?a?R)，
n?0?? ?(z)?精品文档
?cn?1?n(z?a)?n (r?z?a???)，
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则?(z)在z?a?R内解析，?(z)在圆环r?z?a???内解析，洛朗级数(4.4.1)的和函数
f(z)??(z)??(z)，
且f(z)在圆环r?z?a?R内解析。
综上所述，我们有以下定理： 定理4.4.1：设洛朗级数(4.4.1)的收敛圆环为H:r?z?a?R，则(4.4.1)在H内绝对收敛及内闭一致收敛，和函数f(z)在H内解析，且 f(z)?在H内可逐项求任意阶导数，还可以逐项积分。 n????c?n(z?a)n 2 洛朗展开定理
下面的洛朗定理是定理4.4.1的逆定理： 定理4.4.2（洛朗展开定理）：在圆环H:r?z?a?R(r?0,R???)内解析的函数f(z)必可展成洛朗级数 f(z)?其中 n????c?n(z?a)n, (4.4.5) 1f(?)d? (r???R), (4.4.6) n?1???a??2?i(??a)并且展式(4.4.5)是唯一的（即f(z)和圆环H唯一地决定了系数cn）。 cn?定义4.3.1：式(4.4.5)称为函数f(z)在圆环H内的洛朗展式，式(4.4.6) 称为展式的洛朗系数。
【注】：在洛朗定理展开定理4.4.2中，当已给函数f(z)在点a解析时，收敛圆环H就退化成收敛圆洛朗系数(4.4.6)就是泰勒系数(4.3.2)。也只有这时，K:z?a?R，这时洛朗展开定理就是泰勒展开定理，
f(n)(a)洛朗系数除了有积分形式外，还有微分形式cn?。也只有这时，洛朗级数才退化为泰勒级数。因
n!此，泰勒级数是洛朗级数的特殊情形，即c?n?0(n?1)的情形。
与幂级数一样，根据洛朗展式的唯一性，任何一个洛朗级数的收敛圆环r?z?a?R内的洛朗展式。
n????c?n(z?a)n总是它的和函数f(z)在它
3 洛朗展开式的求法
洛朗定理给出了将一个在圆环域内解析的函数展开成洛朗级数的一般方法，即按洛朗系数(4.4.6)式求出cn代入(4.4.5)即可，这种方法称为直接展开法。但是，当函数复杂时，求cn往往是很麻烦的。因此，精品文档
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常常采用所谓的间接展开法，即通过各种代数运算或分析运算及变量代换等，应用已知的一些初等函数的泰勒展式把问题归结为泰勒级数问题来处理。所以把函数展开成洛朗级数时，泰勒级数仍然是基础。
在用间接展开法进行洛朗展开时，常常要用到洛朗级数的的加法和乘法： 洛朗级数的加法：设F(z)在环域H:r?z?a?R内解析，且F(z)?f(z)?g(z)，f(z)及g(z)在环域H内的洛朗展式分别为 f(z)?则在H内 n????a?n(z?a)，g(z)??nn????b(z?a)n?n， F(z)?n????(an?bn)(z?a)n。 洛朗级数的乘法：设F(z)?f(z)g(z)在环域H:r?z?a?R内解析，且f(z)及g(z)在环域H内的洛朗展式分别为 f(z)?则在H内 n????a?n(z?a)，g(z)??nn????b(z?a)n?n， f(z)?其中 ?n????cn(z?a)n， cn?或 ?k?????abkkn?k，n?0,?1,?； F(z)?
n???k?????a(z?a)k?bn?k(z?a)n?k。 精品文档