发布时间 : 星期五 文章（整理）4第四章级数更新完毕开始阅读
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仍改写为z）就可变成那么(4.2.2)；反之还是用这个变换也能把(4.2.2)变回到(4.2.1)的形式。因此，为了方便，今后就以(4.2.2)形式的复函数项级数来进行讨论而不失一般性。
幂级数是最简单的解析函数项函数。为了搞清楚它的收敛情况，先建立下述的阿贝尔定理。 定理4.2.1（阿贝尔(Abel)定理）：（1）若幂级数?cznn?0?n在点z0(?0)处收敛，则它在圆z?z0内收敛且绝对收敛，在所有半径小于|z0|的闭同心圆盘|z|??|z0|(0???1)上一致收敛（也即则在圆n；（2）若级数?cnz在点z0(?0)处发散，则它在满足z?z0内收敛且绝对收敛，且内闭一致收敛）n?0?z?z0的点z处发散。 推论1： 若幂级数若幂级数?cznn?0?n在点z0?0处收敛，则正项级数?cn?0?n rn在0?r?z0收敛； ?cznn?0?n在点z0?0处发散，则它在闭圆z?z0的外部（即在满足z?z0的z处）发散，特别地，这时正项级数 ?cn?0?n rn在闭圆z?z0的外部发散。 2 幂级数的收敛圆与收敛半径
基于上述阿贝尔定理及其推论，我们也能对复幂级数引出象实幂级数那样的收敛半径的概念及相关定理。为此，我们去考虑与幂级数
??cznn?0n相对应的实的幂级数
?cn?0?n rn (r?0)。 (A)
由实分析知，对此实的幂级数，存在一非负实数R，是该实的幂级数(A)的收敛半径，并且具体地有
（1）若R?0，则(A)仅在r?0处收敛；
（2）若R???，则(A)对任意正数r都收敛；
（3）若0?R???，则(A)在r?R时绝对收敛，在r?R时发散，在r?R时可能收敛或发散。 借助实幂级(A)的这些特性，同时再根据上述阿贝尔定理及其推论，就容易得出下面的定理： 推论2：对于复幂级数同情况，我们分别有： （1）如果R=0，那么级数ncz?n在复平面上除去原点外每一点发散； n?0??cznn?0?n，设与之相应实幂级数?cn?0?n rn(r?0)的收敛半径是R，那么按照不（2）如果R???，那么级数?cznn?0?n在复平面上每一点绝对收敛； （3）如果0?R???，那么当|z|?R时，级数该定理中的圆K:z?R称为复幂级数敛半径R也就称为复幂级数
求复幂级数精品文档
?cznn?0?n绝对收敛；当|z|?R时，级数?cznn?0?n发散。 ?cznn?0?n的收敛圆，与之相应的实幂级数
?cn?0?n rn(r?0)的收
?cznn?0?n的收敛半径。
?cznn?0?n的收敛半径问题归结为求与之相应的实幂级数
?cn?0?n rn(r?0)的收敛半径问题。
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在数学分析中已讲过，在常见情况下，实幂级数
?cn?0?n rn(r?0)的收敛半径可用达朗贝尔法则或柯西法
则求出；在一般情况下，则可用柯西—阿达玛公式求出，由此可立即推出： 定理4.2.2～3：若幂级数（1） lim|n????cznn?0?n的系数满足下列条件之一： cn?1|??, （达朗贝尔） cn（2） lim（3） lim则幂级数 nnn???n???|cn|??, （柯西） |cn|??, （柯西—阿达玛） ?cznn?0?n的收敛半径 ??0???, 当 ? 当 0????? (4.2.3) R??1/?，?0 ， 当 ?????对于幂级数(4.2.1)，该定理仍然成立，其收敛圆为z?a?R。 【注】：上极限的定义如下：
已给一个实数序列{an}，数L?(??,??)。
若任给??0，（1）至多有有限个an?L??；（2）有无穷个an?L??，那么说序列{an}的上极限是L，记作liman?L；
n???若任给M?0，有无穷个an?M，那么说序列{an}的上极限是??，记作liman???；
n???若任给M?0，至多有有限个an??M，那么说序列{an}的上极限是??，记作liman???。
n???
3 幂级数和的解析性
定理4.2.4～5： （1）幂级数?cn?0?n(z?a)n的和函数f(z)在其收敛圆K:z?a?R (0?R???)内解析； （2）在收敛圆K内，幂级数f(z)? f且其收敛半径不变； （3）幂级数(p)??cn?0?n(z?a)n可以逐项求任意阶导数： ??n(n?1)?(n?p?1)cn(z?a)n?p，p?0,1,2,?, (4.2.4) n?p?cn?0?n(z?a)n的系数cn可以用和函数f(z)在收敛圆心z?a处的相应阶导数表出： cn?1(n)f(a), n?0,1,2,?; (4.2.5) n!（4）沿收敛圆K内的任一简单曲线??K，可逐项积分： ??且收敛半径不变。 精品文档
f(z)dz??cn?(z?a)ndz， n?0??精品文档
4 幂级数的和函数在其收敛圆周上的状况
注意，前面的讨论没有涉及到幂级数
??cn?0?n(z?a)n在收敛圆周z?a?R上的收敛性（假设
n。在z?a?R上，幂级数?cn(z?a)既可以是点点收敛，也可以是点点发散，还可以在0?R???）
n?0zn一部分点上收敛，在其余的点上发散。可以相应举三个例子，例如，①?2的收敛半径R?1。在z?1n?1n????znzn1n上，?2??2收敛，因此?2在z?1上处处绝对收敛；②几何级数?z在z?1上点点发散，
n?1nn?1nn?1nn?0?zn因为这时一般项z的模为1而不趋于零；③幂级数?的收敛半径R?1，在圆周z?1上只在点z?1处
n?1nn???zncosn?sinn????i?发散，在其余的点z?e(0???2?)上，?，其实部和虚部两个实级数都nnnn?1n?1n?1i??zn收敛，因此级数?在圆周z?1上除去点z?1外处处收敛。
nn?1?但需特别指出：纵使幂级数在其收敛圆周上处处收敛，其和函数在收敛圆周上仍然至少有一个奇点。
这写成一个定理就是： 定理4.2.6：如果幂级数?cn?0?n(z?a)n的收敛半径R?0，且 ?f(z)??cn(z?a)n，(z?K:z?a?R) n?0则f(z)在收敛圆周C:z?a?R上至少有一奇点，即不可能有这样的函数F(z)存在，它在z?a?R内与f(z)恒等，而在C上处处解析。 【注】：定理中所说收敛半径R?0，并不意味着收敛半径还有什么取负值的情况存在。其用意只是为了排除R?0的情况。
znzn该定理的一个例子如：?2虽然在z?1上处处绝对收敛，从而在闭圆z?1上一致收敛，2在复
nn?1n?zn平面C上都是解析的，因此可以在z?1内应用Weierstrass定理。设?2在z?1内的和函数为f(z)，
n?1n?则有
zz2zn?1f?(z)?1???????
23n当z从单位圆内沿实轴趋于1时，f?(z)趋于??。而我们知道，解析函数在其解析点处是无穷次可微的，所以z?1是和函数f(z)的一个奇点。
§4.3 泰勒级数
在前一节已知，任意一个收敛半径为正数的幂级数，其和函数在收敛圆内是解析的。下面的泰勒展开定理是其逆定理。 定理4.3.1（泰勒(Taylor)展开定理）：设f(z)在区域D内解析，a?D，只要圆K:z?a?R含于精品文档
精品文档 D，则f(z)在圆K内能展开成幂级数 f(z)?其中系数 ?cn?0?n(z?a)n (4.3.1) 1f(?)f(n)(a)d?? cn?，n?0,1,2,?； (4.3.2) n?1???2?i(??a)n!??:??a??，0???R， 而且展开式是唯一的。 显然，幂级数(4.3.1)的收敛半径应大于或等于R（注意，定理4.3.1中的R并不指收敛半径），否则，(4.3.1)式将不能在圆K内成立。至于幂级数(4.3.1)的收敛半径能取多大，当用(4.3.2)式确定系数cn后，可由求收敛半径的公式(4.2.3)确定。另外，前面曾指出：对收敛半径为正数的幂级数，它在收敛圆内的和函数在收敛圆周上至少有一奇点。由此可得到确定幂级数收敛半径的另一个新方法： 推论：设f(z)在点a解析，点b是f(z)的奇点中距a最近的一个奇点，则f(z)在点a的某邻域内就可展为幂级数f(z)??cn?0?n(z?a)，且点a与点b间的距离a?b就是幂级数?cn(z?a)n的收敛半径。 nn?0?这个推论，一方面建立了幂级数的收敛半径与此幂级数所代表的函数的性质之间的密切关系，同时，还表明幂级数的理论只有在复数域内才弄得完全明白。例如，在实数域内便不了解：为什么只当x?1时有展式
1?1?x2?x4?x6?? 21?x1对于独立变数x的所有的值都是确定的。这个现象从复变数的观点来看，就可以完全解释清21?x1楚。实际上，复函数在z平面上有两个奇点，即z??i。故我们所考虑的级数的收敛半径等于1。 21?z定义 4.3.1：(4.3.1)式称为函数f(z)在点a的泰勒展式，(4.3.2) 称为展式的泰勒系数，而由(4.3.2)
而函数
式确定系数的幂级数称为泰勒级数。 推论：任何收敛半径为正数的幂级数都是它的和函数在收敛圆内的的泰勒展式。 综合定理4.2.4(1)和泰勒展开定理4.3.1，就得出刻画解析函数的第四个等价定理： 定理4.3.2： 函数f(z)在点a解析?f(z)在点a的某一邻域内可展成z?a的幂级数； 函数f(z)在区域D内解析?f(z)在D内任一点a的邻域内可展成z?a的幂级数。 【注】：在实分析中，将函数在某点的邻域内展成泰勒级数时，首先要求函数在该点的邻域内无穷次可微，而且即使满足无穷次可微条件，其泰勒级数也不一定收敛，纵令收敛，也不一定就收敛于该点的函数值。但在复变函数中，从上面的讨论我们看到，只需在某点解析，函数就可以在该点的邻域内展开成泰勒级数，并保证所得级数在该邻域内收敛于被展开的函数。 关于解析函数概念的小结：
至此，我们已得到函数f(z)在一点z0解析的四种等价的概念，它们是：
（1）f(z)在点z0的邻域处处可导；
（2）f(z)?u?iv的实、虚部u、v在点z0的邻域有连续偏导数且满足C-R条件； （3）f(z)在点z0的邻域内连续且沿此邻域内任一围线的积分等于零； （4）f(z)在点z0的邻域内可展成幂级数。
§4.4 洛朗级数
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