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第四章 级数
本章先介绍复级数的基本概念及其性质，然后从柯西积分公式这一解析函数的积分表示式出发，给出解析函数的级数表示—泰勒级数及洛朗级数。然后，以它们为工具，进一步研究了解析函数的性质。
§4.1 复数项级数
1.复数序列
给定一列无穷多个有序的复数
z1?a1?ib1，z2?a2?ib2，…，zn?an?ibn，…
称为复数序列，记为{zn}。
定义4.1.1：给定一个复数序列{zn}，设z0为一复常数。若对于任意给定的正数??0，都存在一个充分大的正整数N，使得当n?N时，有
|zn?z0|??，
则说当n趋向于??时，{zn}以z0为极限，或者说复数序列{zn}收敛于极限z0，记为
limzn?z0。
n??定理4.1.1：给定一个复数序列{zn}，其中zn?an?ibn，n?1,2,?，z0?a?ib，则limzn?z0的n??充要条件是 liman?a和limbn?b。 n??n?? ?????定理4.1.2：若limz?n?z，limzn?z，则 n??n???????lim(z?n?zn)?z?z； n???????lim(z?nzn)?zz； n???????????lim(z?n/zn)?z/z，zn?0(n?1,2,?)，z?0。 n?? 2.复数项级数
定义4.1.2：设有复数序列{zn}，表达式
?zn?1?n?z1?z2???zn?? (4.1.1)
称为复数项级数。
定义4.1.3：若复数项级数(4.1.1)的部分和（也称为前n项和）序列
{sn?z1?z2???zn}，n?1,2,? 以有限复数s?a?ib为极限，即若
limsn?s，
n???则称复数项级数(4.1.1)是收敛的，并称s为级数(4.1.1)的和，记为
?zn?1n?s；
若部分和
{sn?z1?z2???zn}，n?1,2,?
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无有限极限，则称级数(4.1.1)发散。 定理4.1.3：设zn?an?ibn,n?1,2,?，z?a?ib，则 ???zn?1n收敛于z ? ?an?1n收敛于a，??bn?1n?n收敛于b。 由此可见，则级数收敛的充分必要条件是级数的实部级数定理4.1.4：?an?1和虚部级数
?bn?1?n都收敛。
?zn?1?n收敛 ? limzn?0。 n??收敛的复数级数有如下性质： （1）?zn?1?n收敛 ? ?M?0，使zn?M (n?1,2,?)； n（2）若?zn?1?n?1???s，?z?n?s，则 n?1n??(z???z?； n)??zn??zn?s?s，?czn?c?zn?cs （c为复常数）n?1n?1n?1n?1????（3）若在复级数(4.1.1)中增、删有限个项，则所得级数与原级数同为收敛或同为发散。 定义4.1.4：若级数
?zn?1?n收敛，则称级数
?zn?1?n绝对收敛；非绝对收敛的收敛级数，称为条件收敛
级数。
对于绝对收敛，与定理4.1.1类似，我们有： 补充定理1：设zn?an?ibn,n?1,2,?，级数?zn?1?n绝对收敛的充分必要条件是实数项级数?an?1?n与?bn?1?n都绝对收敛。 定理4.1.5：若级数?zn?1?n收敛，则级数?zn?1?n必收敛（即若级数绝对收敛，则级数收敛）；但反之不一定成立。 可见，绝对收敛?收敛，反之不一定。 补充定理2： （1）绝对收敛级数的各项可以重排顺序而不致改变其绝对收敛性与和。 （2）两个绝对收敛的级数????n?1?n?S，??n?L，其柯西乘积 n?1??n?(??n)(??n)??(?1?n??2?n?1????n?1)????k?(n?1)?k n?1n?1n?1n?1k?1也绝对收敛，且其和为S?L。 【注】：上述柯西乘积等式最右边的式子即是按下述对角线方法作出：
?3 … ?2 ?1 ?1 ?1?1 ?1?2 ?1?3 … ?2 ?2?1 ?2?2 ?2?3 … ?3 ?3?1 ?3?2 ?3?3 … … … … … … 精品文档
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对于复数项级数，存在类似于实数项级数收敛的充分必要条件： 补充定理3（柯西收敛准则）：级数(4.1.1)收敛的充分必要条件是，对于任意给定的??0，存在自然数N，使得当n?N时，有 k?n?1?zn?pk?? 其中p为任意正整数。 3.复变函数项级数
定义 4.1.5：设复函数序列?fn(z),n?1,2,??的各项均在点集E?C上有定义。若存在一个在E有定义的函数f(z)，对E中每一点z，复函数项级数
?fn?1?n(z)?f1(z)?f2(z)???fn(z)?? (4.1.2)
?均收敛于f(z)，则称级数(4.1.2)在E上收敛，其和函数为f(z)，记为
?fn?1n(z)?f(z)。
此定义用精确的语言叙述就是：任给??0，以及给定的z?E，存在正整数N?N(?,z)，使当n?N(?,z)时，有
f(z)?Sn(z)??，
其中Sn(z)??fk?1nk(z)。
上述的正整数N?N(?,z)，一般地说，不仅依赖于?，而且依赖于z?E。重要的一种情形是N不依赖于z?E，即N?N(?)，这就是一致收敛的概念：
定义4.1.6：对于级数(4.1.2)，若在点集E上有函数f(z)，使对任意给定的??0，存在正整数
N?N(?)，当n?N时，对所有的z?E，均有
f(z)?Sn(z)??，
则称级数(4.1.2)在E上一致收敛于f(z)。
补充定理4（柯西一致收敛准则）：复函数项级数(4.1.2)在点集E上一致收敛于某函数的充要条件是：任给??0，存在正整数N?N(?)，使当n?N时，对一切z?E，均有 k?n?1?fn?pk。 (z)?? （p为任意正整数）由此准则，可得出一致收敛的一个充分条件： 定理4.1.6（Weierstrass M－判别法）（优级数准则）：若复函数序列?fn(z)?在点集E上有定义，且存在正数列?Mn?，使对一切z?E，有 fn(z)?Mn (n?1,2,?)， 而正项级数?Mn?1?n收敛，则复函数项级数?fn?1?n(z)在集E上绝对收敛且一致收敛。 这样的正项级数例：级数
?Mn?1?n，称为复函数项级数
?fn?1?n(z)的优级数。
?zn?0?n?1?z?z2?z3???zn??在闭圆z?r(r?1)上一致收敛。
证：事实上，所述级数有收敛的优级数精品文档
?rn?0?n。
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定义4.1.7：设fn(z)(n?1,2,?)在区域D内有定义，若
?fn?1?n(z)在含于D内的任意一个有界闭区域
d上都一致收敛，则称级数?fn(z)在D内闭一致收敛。
n?1?显然，有如下关系： 若若?fn?1n?n(z)在区域D内闭一致收敛，则?fn(z)在D每一点都是收敛的，但不一定在D一致收敛；n?1???fn?1?(z)在D一致收敛，则?fn(z)在D内闭一致收敛。简要地说就是： n?1一致收敛 ? 内闭一致收敛 ? 每一点收敛 下面是关于函数项级数基本性质的三个定理。 定理4.1.7：若级数?fn?1??n(z)的各项fn(z)(n?1,2,?)在区域D内连续，且?fn(z)一致收敛于n?1?f(z)，则其和函数f(z)也在D内处处连续。 定理4.1.8：设级数?fn?1n(z)的各项fn(z)(n?1,2,?)在曲线C上连续，且?fn(z)在C上一致收n?1?敛于f(z)，则沿C可以逐项积分： ? Cf(z)dz???fn(z)dz。 n?1C?定理4.1.9（Weierstrass定理）：设级数?fn?1?n(z)的各项fn(z)(n?1,2,?)在区域D内解析，且?fn?1?n(z)在D内闭一致收敛于f(z)，则 ?（1）f(z)在D内解析； （2）在D内可逐项求任意阶导数：f（3）
(p)(z)??fn(p)(z) (z?D,p?1,2,?)； n?1?fn?1?(p)n(z)在D内闭一致收敛于f(p)(z)。 §4.2 幂级数
1 幂级数的概念
nn幂级数定义：当fn(z)?cn(z?a)或fn(z)?cnz时，就得到复函数项级数的特殊情况：
或
?cn?0?n(z?a)n?c0?c1(z?a)?c2(z?a)2???cn(z?a)n?? (4.2.1)
?
?cznn?0n?c0?c1z?c2z2???cnzn?? (4.2.2)
这种级数称为幂级数，其中cn及a都是复常数。
如果在(4.2.1)中令a?0，就得到(4.2.2)。一般地，如果在(4.2.1)中作变换z?a??（变换后把?精品文档