发布时间 : 星期日 文章第二章 行列式（新）更新完毕开始阅读
D1?4662?113?123?22466122125?3422?2,D2?243466?11?12?22466812?3422?1?2,
D3?433385124??2,D4?43?133?285?312??2.所以方程组的解为x1?DD1DD?1,x2?2?1,x3?3??1,x4?4??1． DDDD??x1?x2?x3?1,? 例18 讨论?为何值时，线性方程组?x1??x2?x3??,有唯一解．
?2?x1?x2??x3???112 解 方程组的系数行列式D?1?1?(??2)(??1)，当D?0，即???2且
11???1时，线性方程组有唯一解．
在方程组（2.18）中，若b1?b2?L?bn?0，即
?a11x1?a12x2?L?a1nxn?0,?ax?ax?L?ax?0,?2112222nn （2.20） ?LLLLLLLLLLL???an1x1?an2x2?L?annxn?0称为齐次线性方程组．显然，（2.20）至少有一个零解（即x1?x2?L?xn?0）；将定理2应用于齐次线性方程组（2.20），有
推论1 如果齐次线性方程组（2.20）的系数行列式D?0，则（2.20）只有零解． 证 由定理2知，当（2.20）的系数行列式D?0时，（2.20）有唯一解；又方程组（2.20）至少有一个零解，所以（2.20）只有零解． 推论1的逆否命题是：
推论2 如果齐次线性方程组（2.20）有非零解，则其系数行列式D?0．
??x1?x2?x3?0,? 例19 讨论?为何值时，齐次线性方程组?x1??x2?x3?0,有非零解．
?x?x??x?023?1? 解 方程组的系数行列式D?1111?(??1)2(??2)．方程组要有非零解，则
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D?0，所以当??1或???2时，方程组有非零解．
思 考 题 三
1．Cramer法则的适用范围是什么？
2．在求解线性方程组时Cramer法则实用吗？ 3．为什么齐次线性方程组至少有一个零解？
第四节 应用举例
一、引例解答
线性方程组（2.1）的系数行列式
1x1x12Lx1nnx2??(xi?xj)?0， M1?j?i?n?1nxn?11x2D?MM1xn?12x2LM2xnL?1则方程组（2.1）有唯一解，且a0?D0DD,a1?1,L,an?n，其中 DDD1x1Lx1j?1x2j?1M?1xnj?1y1y2Myn?1x1j?1Lx2j?1LM?1xnj?L1x1nnx2,j?0,1,2,L,nMnxn?11x2LDj?MM1xn?1L从而得到所求的n次多项式．
二、平行六面体的体积
a1对三阶行列式D?a2b1b2b3a3b??a1??1?1c???????,??令???a2?,???b称向量组?,?,?为c2，2?2c?，??a??b??c?c33?3??3???c1行列式D对应的列向量组．我们有
定理3 向量组?,?,?为棱所构成的平行六面体的体积等于D． 推论 平面上顶点为A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)的三角形的面积S?1D，其中 21D?x1y11x2y21x3． y3 证 考虑空间三点A?(x1,y1,0),B?(x2,y2,0),C?(x3,y3,0)．则以向量组
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?0??x2?x1??x3?x1?????????0,??y?y,??y?y2131??????
?1??0??0???????0为棱所构成的平行六面体的体积等于行列式D?0*x2?x1y2?y10x3?x1y3?y1的绝对值，即以向量01*D．又 21组?,?为邻边的平行四边形的面积，因此所求三角形的面积S?0D*?01x2?x1y2?y10x3?x1001x2?x1y2?y11x3?x11x11x2y21x311x2y21x3?D． y3y3?y1?0y3?y1?y1y3?x11y1
三、平面上两点式直线方程
设(x,y)为直线上的任一点，直线经过平面上两不同点(x1,y1),(x2,y2)，则三点
(x,y),(x1,y1),(x2,y2)共线的充分必要条件是以这三点为顶点的三角形的面积为零，即
1xy上式为平面上两点式直线方程．
1x1y11x2?0． y2习 题 二 （A）
1．利用对角线法则计算下列行列式：
（1）
cos?sin?x?sin?； （2）2xcos?y； 2yabc00a123（3）312； （4）0ab； （5）0ab．
23100aabc2．按定义计算下列行列式：
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0b（1）
f000a00000； （2）L00c0d0en10L0002L00LLLLL00Ln?10．
3．利用行列式的性质，计算下列行列式：
ab(1)bdac?cdcf?ae1111?bf?2222； de； （2）
?3?333ef?4?4?44a?xaaa23100aa?xaa1201（3）； （4）；
aaa?xa03518510154aaaa?x11(5)1M11a10M010a2M0LLLLL100，其中ai?0,i?1,2,L,n． Man4．利用行列式展开定理，计算下列行列式：
?3936?58270?121（1）； （2）；
4?5?3?210137?8?4?501311214a1000a2000LL000Man?10100210L121L12LMM00L00L000000MM2112．
a3L（3）MMM000L100L0M； （4）Dn?M00an05．利用行列式展开定理证明：当???时，有
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