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关于行列式的一般定义和计算方法
n阶行列式的定义
a11a12????a1na2n?annn阶行列式
a21a22?an1an2=?(?1)?(j1j2?jn)a1ja2j?anj12n
j1j2?jna11D?a21a31a12a22a32a13a23?a11a22a33?a12a23a31?a13a21a32a33?aaa?aaa?aaa132231122133112332（1
2 N 阶行列式是 N ! 项的代数和;
3、N阶行列式的每项都是位于不同行、不同列N个元素的乘积;
特点:(1)(项数)它是3!项的代数和;
(2)(项的构成)展开式中的每一项都是取自行列式不同行不同列的三个元素之积.其一般项为:
(3)(符号规律)三个正项的列标构成的排列为123,231,312. 它们都是偶排列;
三个负项的列标构成的排列为321,213,132, 它们都是奇排列.
§ 行列式的性质
性质1：行列式和它的转置行列式的值相同。
a11a12????a1na2n?anna11a21????an1an2?anna21a22?an1an2a12a22?a1na2n即=；
行列式对行满足的性质对列也同样满足。 性质2 互换行列式的两行（列），行列式的值变号.
如: D=
acbd=ad-bc ,
cadb=bc-ad= -D
rj以ri表第i行，Cj表第j列。交换 i,j两行记为ri?Ci?,交换i,j两列记作
Cj。
性质3：如果一个行列式的两行（或两列）完全相同，那么这个行列式的值
等于零。
性质4：把一个行列式的某一行（或某一列）的所有元素同乘以某一个常数k
的结果等于用这个常数k乘这个行列式。（第i行乘以k，记作ri?k）
推论1：一个行列式的某一行（或某一列）的所有元素的公因式可以提到行
列式符号的前面。
推论2：如果一个行列式的某一行（或某一列）的所有元素都为零，那么行
列式值等于零。
推论3：如果一个行列式的某二行（或某二列）的对应元素成比例，那么行列
式值等于零。
a11?kai1?an1a12?kai2?an2?????a1n?kain?ann?ka11?ai1?an1a12?ai2?an2?????a1n?ain?ann性质5：如果行列式D的某一行（或某一列）的所有元素都可以表成两项的和，那么
行
列
2式D等
a1na2n于两
a11a12个行列
a1na2n?式
D1
a11a12和
?b1??b2???D2
a1na2n?的和。
a1a1a2a21?an1an2?a1j?b1?2j?a1j??a?2j2?a?b2??=
na21a22?an1an2?+
a21a22?an1an2
????an?jbn?an?anj?ann?bn?ann性质6：把行列式的某一行（或某一列）的元素乘同一个数后，加到另一行（或
另一列）的对应元素上，行列式值不变。
推论 如果行列式的某一行（列）的每个元素都是m个数之和(m>2)，则此行列
式等于m个行列式之和。
定义：行列式aij如果满足：aij?aji(i,j?1,?,n)；则称此行列式为对称行列式。??a ji一个n阶行列式，如果它的元素满足：aij为奇数时，此行列式为零。
i,j?1,2?n；试证：当n
每一行（或列）提出一个（-1），再转置得D=（-1）nD
性质7 行列式的某一行（列）的各元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式的乘积之和等于零。
按行：ai1Aj1按列：a1iA1j?ai2Aj2???ainAjn?0?a2iA2j???aniAnj?0?i?i?j? ?j?
将性质7 与Laplace定理合并为下列结论：
n ?k?1n?DaikAjk???0?DakiAkj???0i?ji?ji?ji?j （1）
和 ?k?1 （2）
行列式的计算
1．利用行列式定义直接计算 例1 计算行列式
00Dn??n?10????02?0010?0000?0n
解 Dn中不为零的项用一般形式表示为
a1n?1a2n?2?an?11ann?n!.
该项列标排列的逆序数t（n－1 n－2…1n）等于
(n?1)(n?2)(n?1)(n?2)2，故
Dn?(?1)2n!.
2．利用行列式的性质计算
例2 一个n阶行列式Dn?aij的元素满足
aij??aji,i,j?1,2,?,n,则称Dn为反对称行列式，证明：奇数阶反对称行列式为零. 证明：由aij??aji知aii??aii，即
aii?0,i?1,2,?,n故行列式Dn可表示为
0?a12Dn??a13??a1na120?a23??a2na13a230??a3n?????a1na2na3n?0
由行列式的性质
A?A?
0a12?a120a23?a2n0?a12?a13?a230?a3na120?a23??a2n?????a13a230??a3n?a1n?a2n?a3n?0?????a1na2na3n?0Dn?a13?a1n
?(?1)n?a13??a1n
?(?1)Dnn
当n为奇数时，得Dn =－Dn，因而得Dn = 0. 3．化为三角形行列式
若能把一个行列式经过适当变换化为三角形，其结果为行列式主对角线上元素的乘积。因此化三角形是行列式计算中的一个重要方法。
例3 计算n阶行列式
abD?b?bbab?bbba?b?????bbb?a
解：这个行列式的特点是每行（列）元素的和均相等，根据行列式的性质，把第2，3，…，n列都加到第1列上，行列式不变，得