发布时间 : 星期四 文章高考数学一轮复习 第10章 统计、统计案例及算法初步 第3讲 相关性与最小二乘估计、统计案例知能训练更新完毕开始阅读
第3讲 相关性与最小二乘估计、统计案例
1．已知变量x，y呈线性相关关系，线性回归方程为y＝0.5＋2x，则变量x，y是( ) A．线性正相关关系
B．由回归方程无法判断其正负相关 C．线性负相关关系 D．不存在线性相关关系
解析：选A.随着变量x增大，变量y有增大的趋势，则x，y称为正相关．
2．(2016·衡水调研)某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表．根据下表可得回归方程y＝bx＋a中的b＝10.6，据此模型预报广告费用为10万元时销售额为( )
广告费用x(万元) 2 3 4 5 销售额y(万元) 26 39 49 58 A.112.1万元 B．113.1万元 C．111.9万元 D．113.9万元
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解析：选C.因为(x，y)在回归直线y＝bx＋a上，且x＝(4＋2＋3＋5)＝，y＝(49＋26
424
7??＋39＋58)＝43，将?，43?代入y＝10.6x＋a中得a＝5.9，所以y＝10.6x＋5.9，当x＝10?2?
时，y＝106＋5.9＝111.9.所以广告费用为10万元时销售额为111.9万元．
3．(2016·济南模拟)某餐厅的原料费支出x与销售额y(单位：万元)之间有如下数据，根据表中提供的全部数据，用最小二乘法得出y与x的线性回归方程为y＝8.5x＋7.5，则表中m的值为( )
x 2 4 5 6 8 y 25 35 m 55 75 A.50 B．55 C．60 D．65
111
解析：选C.x＝(2＋4＋5＋6＋8)＝5，y＝(25＋35＋m＋55＋75)＝38＋m.又回归直线必
555
1
经过样本中心点，于是有8.5×5＋7.5＝38＋m，解得m＝60.
5
4．通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：
男 女 总计 爱好 40 20 60 不爱好 20 30 50 总计 60 50 110 2n（ad－bc）2
由χ＝，
（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）
2
110×（40×30－20×20）2
算得χ＝≈7.8.
60×50×60×50
附表：
P(χ2≥k0) 0.050 0.010 0.001 k0 3.841 6.635 10.828 参照附表，得到的正确结论是( ) A．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关” B．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关” C．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关” D．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”
2
解析：选C.根据独立性检验的定义，由χ≈7.8>6.635，可知我们在犯错误的概率不超过
0.01的前提下，即有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”，故选C.
5．(2016·嘉兴联考)为了判断高中三年级学生是否选修文科与性别的关系，现随机抽取50名学生，得到如下2×2列联表： 理科 文科 男 13 10 女 7 20 22已知P(χ≥3.841)≈0.05，P(χ≥5.024)≈0.025. 2
50×（13×20－10×7）2
根据表中数据，得到χ＝≈4.844.则认为选修文科与性别有关系
23×27×20×30
出错的可能性为______．
2
解析：因为χ≈4.844，根据假设检验的基本原理，应该断定“是否选修文科与性别之间有关系”成立，并且这种判断出错的可能性约为5%. 答案：5%
6．春节期间，某销售公司每天销售某种取暖商品的销售额y(单位：万元)与当天的平均气温x(单位：℃)有关．现收集了春节期间这个销售公司4天的x与y的数据列于下表：
平均气温(℃) －2 －3 －5 －6 销售额(万元) 20 23 27 30 根据以上数据，用线性回归的方法，求得y与x之间的线性回归方程y＝bx＋a的系数b＝12
－，则a＝________． 5
12－－
解析：由表中数据可得x＝－4，y＝25，所以线性回归方程y＝－x＋a过点(－4，25)，
5
1277
代入方程得25＝－×(－4)＋a，解得a＝.
55
77答案：
5
7．(2016·山西省四校联考)近几年出现各种食品安全问题，食品添加剂会引起血脂增高、血压增高、血糖增高等疾病．为了解三高疾病是否与性别有关，医院随机对入院的60人进行了问卷调查，得到如下的列联表： 患三高疾病 不患三高疾病 总计 男 6 30 女 总计 36 (1)请将列联表补充完整；若用分层抽样的方法在患三高疾病的人群中抽取9人，其中女性抽取多少人？
2
(2)为了研究三高疾病是否与性别有关，请计算出统计量χ，并说明你有多大的把握认为患三高疾病与性别有关？ 下面的临界值表供参考：
0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 5. 024 6.635 7.879 10.828 n（ad－bc）22
(参考公式χ＝，其中n＝a＋b＋c＋d)
（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）
解：(1)根据题意可得 患三高疾病 不患三高疾病 总计 男 24 6 30 女 12 18 30 总计 36 24 60 P(χ2 ≥k0) k0 0.15 2.072
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在患三高疾病的人群中抽取9人，则抽取比例为＝. 364
1
故女性应该抽取12×＝3人．
4
2
60×（24×18－6×12）2
(2)因为χ＝＝10>7.879，
30×30×36×24
所以有99.5%的把握认为患三高疾病与性别有关．
8．(2016·唐山第一次模拟)为了研究某种细菌在特定环境下随时间变化的繁殖情况，得如下实验数据：
天数t(天) 3 4 5 6 7 繁殖个数y(千个) 2.5 3 4 4.5 6 (1)求y关于t的线性回归方程； (2)利用(1)中的回归方程，预测t＝8时，细菌繁殖个数． －－2
解：(1)由表中数据计算得，t＝5，y＝4，? (ti－t)＝10，
i=1
n－
n
?ti－ti＝1
i
－y
－－
＝0.85，a＝y－bt＝－0.25.
b＝
n?ti－ti＝1
2
所以回归方程为y＝0.85t－0.25.
(2)将t＝8代入(1)的回归方程中得y＝0.85×8－0.25＝6.55. 故预测t＝8时，细菌繁殖个数为6.55千个．
1．(2016·郑州第二次质量预测)某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据： 单价x(元) 4 5 6 7 8 9 销量y(件) 90 84 83 80 75 68 由表中数据，求得线性回归方程为y＝－4x＋a.若在这些样本点中任取一点，则它在回归直线左下方的概率为( ) 11A. B. 6312C. D. 23
解析：选B.由表中数据得x＝6.5，y＝80，由y＝－4x＋a，得a＝106，故线性回归方程为y＝－4x＋106.将(4，90)，(5，84)，(6，83)，(7，80)，(8，75)，(9，68)分别代入回归方程可知有6个基本事件，因84<－4×5＋106＝86，68<－4×9＋106＝70，故(5，84)和(9，
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68)在直线的左下方，满足条件的只有2个，故所求概率为＝. 63
2．在2016年1月15日那天，某市物价部门对本市的5家商场的某商品的一天销售量及其价格进行调查，5家商场的售价x元和销售量y件之间的一组数据如下表所示：
价格x 9 9.5 m 10.5 11 销售量y 11 n 8 6 5 由散点图可知，销售量y与价格x之间有较强的线性相关关系，其线性回归方程是y＝－3.2x＋40，且m＋n＝20，则其中的n＝________．
9＋9.5＋m＋10.5＋11m11＋n＋8＋6＋5n解析：x＝＝8＋，y＝＝6＋，回归直线一定经过样5555
本中心(x，y)，
即6＋＝－3.2?8＋?＋40，
5?5?即3.2m＋n＝42.
??3.2m＋n＝42，
又因为m＋n＝20，即?
?m＋n＝20，?
??m＝10，解得?故n＝10.
?n＝10，?
答案：10
3．某学校为调查高三年级学生的身高情况，按随机抽样的方法抽取80名学生，得到男生身高情况的频率分布直方图(如图(1))和女生身高情况的频率分布直方图(如图(2))．已知图(1)中身高在170～175 cm的男生有16名．
n?
m?
(1)试问在抽取的学生中，男、女生各有多少名？ (2)根据频率分布直方图，完成下面的2×2列联表，并判断能有多大(百分数)的把握认为身高与性别有关？
身高≥170 cm 身高<170 cm 总计 男生 女生 总计 解：(1)由题图(1)可知，身高在170～175 cm的男生的频率为0.08×5＝0.4，设抽取的学生中，男生有n1名，
16
则0.4＝，解得n1＝40.
n1
所以女生有80－40＝40(名)．
(2)由(1)及频率分布直方图知，身高≥170 cm的男生有(0.08＋0.04＋0.02＋0.01)×5×40＝30(名)，身高≥170 cm的女生有0.02×5×40＝4(名)，所以可得下列列联表：
身高≥170 cm 身高<170 cm 总计 男生 30 10 40 女生 4 36 40 总计 34 46 80 280×（30×36－10×4）2
由列联表中数据得χ的观测值为k＝≈34.578>10.828.
40×40×34×46
所以能有99.9%的把握认为身高与性别有关．
4．下表是2015年美国旧轿车价格的调查资料，今以x表示轿车的使用年数，y表示相应的平均价格，求y关于x的回归方程． 使用 年数x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 (年) 平均 价格 2 651 1 943 1 494 1 087 765 538 484 290 226 204 y(美元) 解：由已知得散点图如图．