发布时间 : 星期二 文章数学疑难杂症解决更新完毕开始阅读
把十进制数8改写成二进制数是（ C ）。 A、111 B、1001 C、1000
【问题提出】A1—11“准确数”和“近似数”、“绝对误差”和“相对误差”以及“有效数字”和“可靠数字”有什么区别？什么是科学技术法？
【释问参考】在计数和计算过程中，有时能得到与实际完全相符的数，这样的数叫准确数，如某校的数学教师有15人，6×1.2＝7.2等等。但在生产生活和计算中得到的某些数，常常只是接近于准确数，这种数叫近似数。如“某市约有人口75万”，75万就是近似数，因为在统计一个城市的人口时，由于居民的迁入和迁出，出生和死亡，人口数随时都在变化，很难得出准确的人口数。可见，准确数与近似数的主要区别，就在于是否与实际情况完全相符。其中，小于准确数的近似值，叫不足近似值；大于准确数的近似值叫做过剩近似值。
准确数A与它的近似值a之差A－a，叫做这个近似数的误差；误差的绝对值∣A－a∣，叫做这个近似数的绝对误差。近似数的绝对误差除以准确数所得的商，叫做这个近似数的相对误差（常用百分率表示）。实际计算时，由于准确数往往不得而知，所以只能用近似数代替准确数来计算误差。
一个近似数，如果绝对误差不超过它末位的半个单位，则从左端第一个非零数字起到末位数字为止，所有的数字都叫做这个近似数的有效数字。一个近似数，如果绝对误差不超过它末位的一个单位，则从左端第一个非零数字起到末位数字止，所有数字都叫做这个近似数的可靠数字。因此，用“四舍五入”取得的近似数，从左端第一个不是零的数字起到末位数字止，所有数字都是有效数字，也都是可靠数字。用“进一法”或“去尾法”取得的近似数，从左端第一个不是零的数字起到末位数字止，所有的数字都是可靠数字；在这些可靠数字中，除末位外，都是有效数字。例如，取∏＝3.14，因为∣∏－3.14∣＜0.01÷2，所以圆周率的近似数3.14有三个有效数字；如果取∏＝3.1416，则∣∏－3.1416∣＜0.0001÷2，所以近似数有5个有效数字。
任何一个近似数都可以写成a＝a′×10k的形式，其中a′是由近似数a的有效数字组成的数，且满足1≤a′≤10,k是整数，这种记数法叫做科学技术法。 【思考练习】
1．小于准确数的近似数叫做（ B ）。 A、过剩近似数 B、不足近似数
2．把5698“四舍五入”到十位是5700，其中有效数字有（ B ）个。 A、2 B、3 C、4
【问题提出】A1—12截取近似数时，“去尾法”、“进一法”与“四舍五入法”的主要区别是什么？为什么常用“四舍五入法”？ 【释问参考】
去尾法：截取近似数时，不论去掉的尾数的最高位是否小于5，留下的数都不变，这样截取近似数的方法，叫做“去尾法”。
进一法：截取近似数时，不论去掉的尾数的最高位是否小于5，留下的数的末位都加1，这样截取近似数的方法，叫做“进一法”。
四舍五入法：在截取近似数时，通常这样规定：（1）如果去掉的尾数中，最高位是5或比5大，那么就在留下的数的末位加1；（2）如果去掉的尾数中，最高位数小于5（即是4或比4小），那么留下的数不变。像这样的截取近似数的方法，叫做“四舍五入法”。
三者区别：用“四舍五入法”截取近似数时，误差不超过保留部分的末位的半个单位；而用“去尾法”或“进一法”截取近似数时，误差不超过保留部分的末位的一个单位。 【思考练习】
用“四舍五入法”截取的近似数是3.14，那么准确数的范围应该是（ B ）。
A、3.130??～3.139?? B、3.135??～3.144?? C、3.140??～3.149??
【问题提出】A1—13在截取一个数的近似数时，为什么不能连续两次运用“四舍五入法”？
5
【释问参考】例如，要把724600“四舍五入”到万位，下面两种做法的得数为什么不同？ 方法一：724600≈720000 方法二：724600≈725000≈730000
方法一符合“四舍五入法”的操作规范，所得近似数的误差不会超过保留部分的末位的半个单位（即0.5万）；方法二连续两次运用了“四舍五入法”，不符合操作规范，所得近似数的误差已超过保留部分的末位的半个单位。事实上，730000并不是724600“四舍五入”到万位的近似数，而是725000“四舍五入”到万位的近似数。 因此，在截取一个数的近似数时，不能连续两次运用“四舍五入法”。 【思考练习】
把724600“四舍五入”到万位，下面两种做法正确的是（ A ）。 方法一：724600≈720000 方法二：724600≈725000≈730000
A、方法一 B、方法二 C、两种方法都对
【问题提出】A1—14小数概念如何定义和分类？
【释问参考】把单位“1”平均分成10份，100份，1000份，这样的1份或几份，可以用分母是10，100，1000，??的分数来表示，我们把这种分母是10的正整数幂的分数叫做十进分数。因为这些分数每相邻两个分数单位之间的进率都是10，所以可以仿照整数的写法，写在整数个位的右边，并用小圆点“.”隔开，用这种形式把分母是10、100、1000，??的十进分数，改写成的不带分母的数，叫做小数。
分类一：根据一个小数的整数部分是不是0，可以把小数分为纯小数和带小数；
分类二：根据小数部分的位数是不是有限，分为有限小数和无限小数，其中，无限小数又可分为无限循环小数和无限不循环小数。 【思考练习】
小数可以分成（ C ）
A、纯小数和带小数 B、无限小数和有限小数 C、都可以
【问题提出】A1—15整数、小数的计数单位有哪些？其中有没有最小和最大的？为什么“整数的数位顺序表”与“小数的小数部分的数位顺序表”可以统一起来？
【释问参考】在十进制中，整数的数位有个位、十位、百位、千位、万位??它们的计数单位分别是一、十、百、千、万??10个一是十，10个十是百，10个百是千，10个千是万??最小的计数单位是一，没有最大的计数单位。 在十进制小数中，小数点右边的数位依次是十分位、百分位、千分位??它们的计数单位分别是十分之一、百分之一、千分之一??其中，最大的计数单位是十分之一，没有最小的计数单位。
因为10个十分之一是一，所以小数点右边的十分位的计数单位与小数点左边的计数单位之间也是“满十进一”的关系。因此，整数的数位顺序表和小数的小数部分的数位顺序表可以统一起来。 【思考练习】
下列说法错误的是（ A ）。
A、整数部分、小数部分都有最大的计数单位和最小的计数单位； B、整数最小的计数单位是一，没有最大的计数单位；
C、小数部分最大的计数单位是十分之一，没有最小的计数单位。
【问题提出】A1—16“一位数”、“两位数”、“三位数”??与“一位小数”、“两位小数”、“三位小数”??各是怎样定义的？为什么0不是一位数？
【释问参考】在非零自然数集N＋中，用一个十进制数字表示的叫一位数，如1，2，3，4?9；用两个十进制数字表示的叫两位数10,11,12?99；??依此类推。
小数部分只有一个数字的小数叫一位小数，小数部分有两个数字的小数叫两位小数，小数部分有三个数字的小数叫三位小数??依此类推。
6
实际上，一位数、两位数等自然数都可以用更多的数字来表示。如两位数48可以表示为048；一位数6可以表示为006。为了分化出一位数、两位数等概念，我们约定：在一个自然数中，从计数单位最大的、不是零的数字起到个位为止的数字有几个，这个自然数就称之为几位数。数0不论用多少个0来表示都行，但其中没有0以外的数字，所以0不是一位数。当然也不是两位数、三位数??
由于0不是一位数，一位数只有1,2,3，?，9共9个，所以最大的一位数是9；最小的一位数是1，而不是0 【思考练习】
1.最小的一位数是（ A ）。
A、1 B、0 C、没有 2. 048是（ B ）位数。
A、三 B、两 C、048不是一个数
【问题提出】A1—17怎样认识“小数”和“分数”的关系？
【释问参考】小学生最初认识的“小数”仅仅是有限小数。有限小数相当于十进分数，即分母中不含有2、5以外的质因数的最简分数。这时，可以说“小数”是“分数”的种概念，“分数”是“小数”的属概念。“分数”与“小数”是属种关系。当人们试图用分子除以分母的方法将分母中含有2、5以外的质因数的最简分数化为小数时，发现会出现相同的余数，致使商中有一个或几个数字依次不断地重复出现。这时，商的小数部分的位数是无限的，于是“小数”概念从“有限小数”发展为包括“有限小数”和“无限小数”。分数化小数，要么化为有限小数，要么化为（无限）循环小数；而无限不循环小数则不可能由分数转化而来，它们是分数以外的另一类数。
对于扩充以后的“小数”概念，其中包括的有限小数与（无限）循环小数的部分相当于“分数”，此外，还有一种不可能由分数转化而来的无限不循环小数。因此，我们可以说这时“分数”是“小数”的种概念。 【思考练习】
下面说法错误的是（ C ）。 A、有限小数相当于十进分数
B、“分数”是“小数”的种概念，“小数”是“分数”的属概念 C、所有的小数都可以由分数转化而来
【问题提出】A1—18分数在现代数学和小学数学中的定义有什么不同？ 【释问参考】分数在现代数学中的定义：
在整数的有序对（p，q）（q≠0）的集合上定义如下等价关系：
设p1，p2∈Z｝，q1,q2∈Z﹨｛0｝。如果p1 q2＝p2 q1, 则称（p1，q1）～（p2，q2），Z×（Z﹨｛0｝）关于这个等价类称为有理数。（p，q）所属的有理数记为。在有理数集中，整数以外的数称为分数。 分数在小学数学中的定义：
把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫做分数。分数的一半形式是。 两者区别：
“分数”在现代数学中的定义和在小学数学中的定义基本上是一致的。在小学数学中给出的“分数”的定义实质上是正有理数的定义，其中，q≥2。整数p可以表示为，不能说明“整数也是分数”，仅仅表示“整数是有理数”。因为并不是分数所特有的表示形式。
【思考练习】在小学数学中“分数”的定义实质上是（ B ）范围内的定义。 A、有理数 B、正有理数
【问题提出】A1—19“因为3＝，所以3也是分数”对吗？整数是不是分数？整数和分数是什么关系？分数与带分数、百分数、繁分数的关系是不是属种关系？ 【释问参考】根据 3＝＝＝＝?
只能得出“3是有理数”，不能得出“3是分数”的结论。
7
事实上，有理数当p能被q整除时，是整数；当p不能被q整除时，才是分数。
可见，整数不是分数。由于“整数”与“分数”的外延是互相排斥的，并且它们的并集就是邻近的属概念“有理数”的外延，所以“整数”与“分数”这两个概念间的关系是矛盾关系。 【思考练习】
下面说法（ B ）是正确的。 A、因为3＝，所以3也是分数 B、整数不是分数
C、整数分为正整数和负整数
【问题提出】A1—20说“自然数1不同于单位1对吗？自然数“1”和分数定义中的单位“1”的现实原型有什么不同？ 【释问参考】自然数“1”是非零自然数中最小的一个，是自然数的最基本的单位。作为自然数“1”的现实原型，可以是一个苹果，也可以是一堆苹果。这个苹果或这堆苹果都可以平均分为若干份，而用分数表示其中的一份或几份。它们也是分数定义中所说的平均分的对象，分数定义中所说的单位“1”，实质上就是自然数“1”。所以，说自然数“1”不同于单位“1”的理由是不充分的。
任何一个物体都可以作为自然数“1”的现实原型，但作为分数定义中的单位“1”的现实原型，受到更多的条件限制。如一块蛋糕可以平均分给两位小朋友，每人分得这块这块蛋糕的二分之一，但一只小白兔无法平均分给两位小朋友。但现实原型的差异不能作为自然数“1”不同于单位“1”的理由。 【思考练习】
自然数1不同于单位“1”，对吗？（ B ） A、对 B、不对
【问题提出】A1－21 分数可以分为“真分数”“假分数”与“带分数”吗？ 【释问参考】
［可约分数］［最简分数］［既约分数］：分数可以按照不同的标准来分类。如：按照分子与分母有没有1以外的公约数，可以把分数分为可约分数和最简分数。分子与分母有1以外的公约数的分数叫做可约分数；分子分母没有1以外的公约数的分数叫做最简分数。
［真分数］［假分数］：分数还可以按照分子是否小于分母，分为真分数和假分数，分子小于分母的分数叫真分数；分子不小于分母的分数叫做假分数。
［带分数］根据定义，“带分数”是一个整数和一个真分数合成的数。实际上是一个整数与一个真分数的和。它是一个和式，而不是一个分数。 【思考练习】
分数可以分为（ A ） A．真分数和假分数 B．真分数和带分数
C．真分数、假分数和带分数
【问题提出】A1－22 说“假分数的分子大于分母”错在哪里？ 【释问参考】
根据小学数学对假分数所下的定义，分子等于或大于分母的分数叫做假分数。可见，假分数有两类：分子大于分母的假分数和分子等于分母的假分数。如果一个分数是假分数，那么它的分子大于分母或分子等于分母。这时，我们可以根据“一个分数是假分数”推出“它的分子大于分母或分子等于分母”，但我们推不出“分子大于分母”，也推不出“分子等于分母”。 【思考练习】
下面说法错误的是（ A ） A．假分数的分子大于分母
8