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【问题提出】A1—1 自然数在现代数学中的定义与在小学数学课本中的说明有什么不同？
【释问参考】
最先给出自然数纯逻辑定义的是德国数学家、逻辑学家弗雷格和英国数学家、逻辑学家和哲学家罗素，他们将每个自然数定义为“可以建立一一对应的所有的有限集组成的集”这一定义被成为“弗雷格—罗素的自然数定义”。为了建立自然数公理化体系，意大利数学家和逻辑学家G.皮亚诺在1891年给出了关于自然数的五条公理：1．0是一个自然数；2．0不是任何其他自然数和后续；3．每一个自然数a都有一个后续；4．如果自然数a与b的后续相等，则a、b也相等。5．如果一个由自然数组成的集合s包含0，并且当s包含某一个自然数a时，它一定也包含a的后续，那么就包含全体自然数。
为了使自然数这个定义通俗易懂，《小学数学基础理论》教科书将每一个自然数定义为“可以建立一一对应的一类有限集的共同性质”，如在教学5的认识时，通过引导学生观察画面上的五位解放军、五匹马、五支枪等等不同物体的集合，然后引导学生寻求这些物体集合的共同点：“它们都是五个”，“五”就是这些物体集合的共同性质，从而初步形成自然数“五”的概念。
小学数学课本中对自然数的说明是在这样的：用来表示物体个数的数1，2，3，?就叫自然数。“0”表示没有东西可数，“0”也是一个自然数，“1”是自然数的单位。任何一个自然数都是有若干个“1”组成的。 【思考练习】 小学数学课本中关于对自然数的教学的理论依据是（ B ）。 A．“弗雷格—罗素的自然数定义”。 B．《小学数学基础理论》教科书。 C．G.皮亚诺的关于自然数的五条公理。
【问题提出】A1—2 自然数的“基数意义”和“序数意义”有什么不同？ 【释问参考】
当自然数0，1，2，?用来表示有限集合中元素的个数时，这样的数叫做“基数”。如“这幢住宅楼是5层楼”，这里的“5”就是基数。当自然数被用来表示事物的排列次序时，这样的数就叫做“序数”。如“我住在这幢住宅楼的5楼”，这里的“5”就是序数，表示“第5”的意思。
在一个句子里出现的自然数究竟是基数、还是序数，要根据语言环境来判定（如上文）。 【思考练习】
体育课上，同学们排成一列横队“报数”，排头从“1”开始，报到排尾是“35”，这个“35”（ C ）。 A．表示这一队学生共有35人。 B．表示排尾的学生是第35个。
C．既表示这一队学生共有35人，也表示排尾的学生是第35个。
【问题提出】A1—3 自然数、正整数和整数之间的区别和联系是什么？ 【释问参考】
正整数：一个一个地数东西而产生的、用来表示物体个数的数1，2，3，?也叫正整数。当我们数每一棵苹果树上有多少个苹果时，可能遇到一个苹果也没有的情形。要数的东西一个也没有，就用“0”表示。0与正整数统称为自然数。 负整数：为了表示现实世界中具有相反意义的量，人们引入了正数与负数。如“盈利5元”用“＋5元”表示，“亏损5元”就用“5元”表示。
这种在一个数前添加的用来表示它的“正”、“负”的符号叫做性质符号。添加了性质符号“＋”或“－”的数分别称为正数和负数。“0”既不是正数，也不是负数。正数中的正号可以省略不写。添加了负号“－”的正整数叫做负整数。
整数：正整数、零、负整数统称整数。 正整数 自然数 整数 零
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负整数 【思考练习】
自然数、正整数和整数这三个数概念中，（ C ）的范围最大。 A、自然数 B、正整数 C、整数
【问题提出】A1—4 为什么以前规定“0不是自然数”，现在又规定“0是自然数”？ 【释问参考】
1891年，意大利数学家G.皮亚诺在建立自然数的公理化体系时，给出的一个公理就是“0是一个自然数”。而在我国流传甚广的《范氏大代数》的第一编中，则明确提出：所谓自然数，就是用符号1,2,3，?分别表示并称为一，二，三??的数。可见，在各国的学术界，“0是自然数”与“0不是自然数”的观点并存。现在看来，“0不是自然数”在应用中有其方便之处，而“0是自然数”就数的产生历史而言更为“自然”。作为数学列强的俄罗斯数学界一直坚持“0不是自然数”。
1949年，中华人民共和国成立后，我国许多学科的教学大纲和教科书都是参照苏联的版本翻译的。M.K.格列本卡所著的高等学校教学用书算术（第6页）中明确指出：数（shǔ）树上的苹果时，可能某一棵树一只苹果也没有，这时我们就说这棵树上的苹果数目为0。0就是没有东西可数。0作为一个数，不属于自然数。于是，“0不是自然数”的判断在我国中小学数学课程中广为传播。
20世纪80年代以来，我国实行对外开放，为了便于国际交流，在科技与教育上和国际接轨，1993年颁布的《中华人民共和国归家标准》（GB3100-3102-93）“量和单位”（11-29）第311页规定：自然数包括0。随后，中小学数学教材在进行修订时，根据上述国家标准进行了修改。数物体时如果一个物体也没有，就用0表示。0也是自然数。 1994年11月国家技术监督局发布的《中华人民共和国国家标准物理科学和技术中使用的数学符号》中，将自然数集记为N=｛0,1,2,3，?｝，而将原自然数集称为非零自然数集N+（或N*）=｛1,2,3，?｝。 我国国家标准局的专家们是从世界各国的两种不同的规定中取其一，希望更有利于国家交流。 规定“0是自然数”后，自然数按约数个数的分类也发生了变化，分为这样四部分： （1）质数（有且只有2个约数） （2）合数（有3个或3个以上的约数） （3）1（只有1个约数）
（4）0（0以外的任何数都是它的约数） 【思考练习】
下面说法中，（ A ）是最恰当的。
A、以前规定“0不是自然数”，现在规定“0是自然数”” B、0是自然数 C、0不是自然数
【问题提出】A1—5 “自然数集”、“自然数列”、“扩大的自然数列”和“非零自然数集”有哪些区别和联系？自然数列有哪些基本性质？ 【释问参考】
自然数集：所有的自然数组成的集合叫做“自然数集”。“自然数”和“自然数集”是两个不同的概念。我们可以说“3是自然数”，但不能说“3是自然数集”。因为“自然数集”是一个集合概念，即从整体上反映一个集合体的概念。“自然数”则是非集合概念。
自然数列：将所有的自然数按照从小到大的顺序排成一列
0，1，2，3??
这样的一列数叫做自然数列。“自然数列”的项和“自然数集”中的元素是一样的，都必须包括所有的自然数，它们的区别就在于自然数集不讲究所含元素的顺序，而自然数列中所有的自然数都必须按照从小到大的顺序排列。只要有一处违反了这样的排列顺序，如0，2，1，3?，它就不是自然数列。当然，少了一个自然数的数集或数列也不再是自然数集或自然数列。
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扩大的自然数列：这是一个应该消亡的数学名词。当我们认为“0不是自然数”时，把1，2，3?叫做“自然数列”；而将0，1，2，3?称为“扩大的自然数列”。现在，国家标准重新规定“0是自然数”，因此，后者顺理成章地应该称之为“自然数列”。“扩大的自然数列”作为一个数学名词已经不再需要。 非零自然数列：认为0是自然数后，0除外的自然数组成的数列叫做非零自然数列。 自然数列有以下的性质：
（1）有始。自然数列是从0开始的。0不是任何其他自然数的后继；
（2）有序。每一个自然数都有且只有一个后继；除了0，每个自然数都有且只有一个先行数（即紧挨在其前面的一个数）；
（3）无限。自然数列是一个无限数列。没有最后的或者说最大的自然数。 【思考练习】
下面的这一列数（ B ）自然数列。 0，1，2，4，5，? A、是 B、不是
【问题提出】A1—6 “计数”、“记数”、“数数”、“写数”各指什么？什么是计数的基本原理？为什么我们的计数制和记数制都是十进制的？ 【释问参考】
“计数”“数数”: “计数”就是“数数”。指的是把一些事物与非零自然数列里的数1，2，3?，建立一一对应的过程。
计数的基本原理是：只要不遗漏、不重复，计数的结果与计数的顺序无关。
十进制计数法：计数时，可以一个一个地数，也可以几个几个地数。如两个两个地数，五个五个地数，十个十个地数，等等。用一（个）、十、百、千、万??作为计数单位的计数方法，叫做十进制计数法。这时，每十个较低的计数单位等于一个较高的计数单位。
“记数”“写数”：“记数”就是“写数”。指的是如何用数字符号将一个数N（或者计数的结果）记录下来。 十进制记数法：当我们用十进制计数法弄清了一个数的组成后，就可以按照十进制记数法用数字符号0,1,2,?，9把这个数记录下来。
由于自然数有无限多个，要对每一个自然数都给一个独立的名称和记号是不可能的。现在国际上通用的记数方法是用0，1，2?，9分别表示自然数列里的前十个数。其他自然数则用这些数字按“位值原则”表示。即每个数字占有一个位置，叫做“数位”。每个数位表示一种计数单位。同一个数字（0除外）在所记的数里位置不同，所表示的数值也不同。
在所记的数里，从右往左，第一位是个位，第二位是十位，第三位是百位??个位的计数单位是一，十位的计数单位是十，百位的计数单位是百??因为每两个相邻数位的计数单位的进率都是十，所以这种记数的方法叫做十进制计数法。 【思考练习】
自然数5023中的数字“2”根据“位值原则”表示2个（ B ）。 A、一 B、十 C、百 D、千
【问题提出】A1—7 “数”和“数字”的区别和联系是什么？ 【释问参考】
用来记数的符号叫做“数字”。数和数字是两个不同的概念。数或为单数，或为双数；或为质数，或为合数。数字或为罗马数字，或为阿拉伯数字；或为手写的数字，或为印刷的数字。事实上，数字并不是数，而是表示数的记号。数是数字所表达的内容而不是数字本身。
我国是世界上的文明古国之一。在我国，用文字记数已有悠久的历史。早在三千多年前的商代的甲骨文里，就已经记有数字。其中记载的最大的数是“三万”，最小的数是“一”。一、十、百、千、万各有专名。特别是当时已经采用了十进制的记数方法，这和现在世界通用的“十进制计数法”是一致的。
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【思考练习】
用来记数的符号叫做（ C ）。
A、数 B、数位 C、数字
【问题提出】A1—8 说“43”是数而不是数字对吗？ 【释问参考】
表示数的符号叫做数字。因为“43”是一个数学符号，在十进制记数法中，用来表示由四个十与三个一组成的自然数，所以它是数字，而且是由数字“4”与“3”排成一列组成的“复合数字”。同时，“43”也表示一个数，由四个十与三个一组成的数。
另一方面，在一定的语言环境中出现的数字“43”，也可以用来表示一个k进制的自然数，即四个k与三个一组成的数。在这里，因为出现了数字“4”，所以k≥5。
总之，“43”既是一个数，也是一个数字。同样，对于任一个用符号表示的自然数来说，它既是一个数，也是一个数字。当它在一个语句中出现时，究竟何所指，要看特定的语言环境。 【思考练习】
从上文的分析看来，“43”是（ C ）。
A、一个数 B、一个数字 C、既是一个数，也是一个数字
【问题提出】A1—9 “数的组成”、“数的名称”和“数的读写”有什么联系？ 【释问参考】
数的组成：在认识某个范围内的自然数时，首先要认识这些数的组成。如认识一个千以内的数，要弄清它是由几个百、几个十与几个一组成的。为此，可以先用计数单位“百”，一百一百地数；剩下的不足一百时，再用计数单位“十”，十个十个地数；最后，如果剩下的不足十个，再一个一个地数。即用十进制计数法弄清数的组成。
每一个自然数的名称都是根据它的十进制组成规定的。为此，制定了根据自然数的十进制组成来为它命名的规则。一个数由几个百、几个十和几个亿组成，就称之为“几百几十几”（中间有0时如何命名另有规定）。同时，也制定了按十进制位值原则用数字符号0，1,2，?，9来表示一个自然数的规则——“写数规则”，这就是“十进制记数法”。 所谓“读数”，就是根据一个数的符号，说出它的名称；所谓“写数”，就是根据一个数的名称写出表示这个数的数字符号。“自然数的读写”就是一个数的自然语言和符号语言两种表述之间的相互改写。
总之，数的十进制组成是用十进制计数法计数的结果，是给这个数命名的依据，是用数字符号表示这个数的依据，因而也是数的读写的基础。可见，数的组成是认数教学的核心问题。 【思考练习】
我们的日常生活中所用的自然数的名称通常是根据它的（ A ）进制组成规定的。 A、十 B、八 C、二
【问题提出】A1—10 “十进制”和“二进制”的相同点和不同点有哪些？ 【释问参考】
如果在所用的一系列计数单位中，每十个某单位都组成一个和它相邻的较高的单位，即所谓“满十进一”，那么这种计数制就是“十进制”。如果是“满二进一”，就是“二进制”。十进制和二进制都是“进位制”。十和二分别叫做这两种进位制的基数。进位制的基数可以是大于1的任何自然数。
在十进制记数法中，我们用十种不同的数字0，1，2，?，9按照位值记数法来表示不同的自然数。在二进制记数法中，只用两个同的数字0，1就能表示任何自然数。十进制数与二进制数的对应关系如下表： 十进制数 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ?? 二进制数 0 1 10 11 100 101 110 111 1000 1001 ??
可见，作为记数法，十进制与二进制运用的不同数字的个数不同；表示同一个自然数（0，1除外）时，所需数位的个数不同。 【思考练习】
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