(京津专用)高考数学总复习优编增分练:8+6分项练2不等式与推理证明(理)

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-2;

1111614?1?(4)当-≥,即-2≤a<0时,最优解为B?3,?,z=3+a=,a=,不满足-2≤a<0,a2233?2?舍去.

综上,实数a的值为3或-

11

,故选D. 3

2

2

8.(2018·天津市河东区模拟)已知正实数a,b,c满足a-ab+4b-c=0,当时,a+b-c的最大值为( ) 331

A.2 B. C. D.

484答案 C

解析 正实数a,b,c满足a-ab+4b-c=0,可得c=a-ab+4b,

2

2

2

2

c取最小值abca2-ab+4b2a4b==+-1≥2ababba当且仅当a=2b时取得等号,

a4b·-1=3. ba则当a=2b时,取得最小值,且c=6b, ∴a+b-c=2b+b-6b=-6b+3b

2

2

cab2

?1?23=-6?b-?+,

?4?8

13

∴当b=时,a+b-c有最大值.

48

x-2y+1≥0,??

9.(2018·华大新高考联盟模拟)若实数x,y满足不等式组?y≥x,

??x≥0,

的取值范围是________. 答案 [0,2]

解析 画出可行域如图阴影部分所示(含边界),

则x+y22

x2+y2的几何意义是阴影内的点到原点的距离的平方,显然O点为最小值点,而A(1,1)为最

大值点,故x+y的取值范围是[0,2].

2

2

y≥1,??

10.已知实数x,y满足?y≤2x-1,

??x+y≤m,

=________. 答案 5

如果目标函数z=x-y的最小值为-1,则实数m解析 绘制不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示(含边界),

??y=2x-1,

联立直线方程?

?y=-x+m,?

可得交点坐标为A?

?m+1,2m-1?,

3??3?

由目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最小值, 所以

m+12m-1

3-

3

=-1,解得m=5.

x≥y,??

11.(2018·南平模拟)若实数x,y满足?2x-y≤2,

??y≥0,

11

为4,则+的最小值为________.

且z=mx+ny(m>0,n>0)的最大值

mn答案 2

解析 作出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示(含边界).

由可行域知可行域内的点(x,y)均满足x≥0,y≥0.

所以要使z=mx+ny(m>0,n>0)最大,只需x最大,y最大即可,即在点A处取得最大值.

??y=x,联立?

?y=2x-2,?

解得A(2,2).

所以有2m+2n=4,即m+n=2.

111?11?1?mn?1

+=(m+n)?+?=?1+++1?≥×(2+2)=2. mn2?mn?2?nm?211

当且仅当m=n=1时,+取得最小值2.

mn

2x+y-3≤0,??

12.(2018·湘潭模拟)设x,y满足约束条件?2x-2y-1≤0,

??x-a≥0,

x-y的最大值为2,则x+yz=x-y的最小值为________.

15

答案 -

8

解析 令X=x+y,Y=x-y,则x=2x+y-3≤0,??

所以?2x-2y-1≤0,

??x-a≥0

X+Y2

,y=

X-Y2

3X+Y-6≤0,??

等价于?2Y-1≤0,

??X+Y-2a≥0,

作出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示(含边界),

x-yY=表示可行域内一点(X,Y)与原点的连线的斜率, x+yX1?11Y1?

由图象可知,当X=2a-,Y=时,取得最大值,则=2?2a-?,

2?22X2?3

解得a=,

83X+Y-6=0,??联立?3

X+Y-=0,?4?

15

解得Y=-,

8

15

所以z的最小值为-.

8

13.中国古代数学名著《周髀算经》曾记载有“勾股各自乘,并而开方除之”,用符号表示为a+b=c (a,b,c∈N),我们把a,b,c叫做勾股数.下列给出几组勾股数:3,4,5;5,12,13;7,24,25;9,40,41,以此类推,可猜测第五组勾股数的三个数依次是________. 答案 11,60,61

2

2

2

*

解析 由前四组勾股数可得第五组的第一个数为11,第二,三个数为相邻的两个整数,可设为x,x+1,

所以(x+1)=11+x,所以x=60, 所以第五组勾股数的三个数依次是11,60,61.

14.(2018·漳州质检)分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学.分形的外表结构极为复杂,但其内部却是有规律可寻的.一个数学意义上分形的生成是基于一个不断迭代的方程式,即一种基于递归的反馈系统.下面我们用分形的方法来得到一系列图形,如1

图1,线段AB的长度为a,在线段AB上取两个点C,D,使得AC=DB=AB,以CD为一边在

4线段AB的上方做一个正六边形,然后去掉线段CD,得到图2中的图形;对图2中的最上方的线段EF做相同的操作,得到图3中的图形;依此类推,我们就得到了以下一系列图形:

2

2

2

记第n个图形(图1为第1个图形)中的所有线段长的和为Sn,现给出有关数列{Sn}的四个命题:

①数列{Sn}是等比数列; ②数列{Sn}是递增数列;

③存在最小的正数a,使得对任意的正整数n,都有Sn>2 018; ④存在最大的正数a,使得对任意的正整数n,都有Sn<2 018. 其中真命题是________.(请写出所有真命题的序号) 答案 ②④

解析 由题意,得图1中的线段为a,S1=a, 图2中的正六边形的边长为,

2

aaS2=S1+×4=S1+2a,

2

图3中的最小正六边形的边长为,

4

aaS3=S2+×4=S2+a,

4

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