发布时间 : 星期日 文章同济第六版《高等数学》教案WORD版-第07章-空间解析几何与向量代数.更新完毕开始阅读
三、两平面的夹角
两平面的夹角??两平面的法线向量的夹角(通常指锐角)称为两平面的夹角? ? 设平面1和2的法线向量分别为n1?(A1? B1? C1)和n2?(A2? B2? C2)? 那么平面
1和
2的
^^^^夹角? 应是(n1, n2)和(?n1, n2)???(n1, n2)两者中的锐角? 因此? cos??|cos(n1, n2)|? 按两向量夹
角余弦的坐标表示式? 平面 cos??|cos(n1^, n2)|?1和2的夹角?
可由
?
|A1A2?B1B2?C1C2|222A12?B12?C12?A2?B2?C2来确定?
从两向量垂直、平行的充分必要条件立即推得下列结论?? 平面1和2垂直相当于A1 A2 ?B1B2 ?C1C2?0? 平面
1和
2平行或重合相当于
AC1B?1?1? A2B2C2 例5 求两平面 x?y?2z?6?0和2x?y?z?5?0的夹角? 解 n1?(A1? B1? C1)?(1? ?1? 2)? ?n2?(A2? B2? C2)?(2? 1? 1)? cos??|A1A2?B1B2?C1C2||1?2?(?1)?1?2?1|??1222A12?B12?C12?A2?B2?C212?(?1)2?22?22?12?122
所以 所求夹角为????
3 例6 一平面通过两点M1(1? 1? 1)和M2(0? 1? ?1)且垂直于平面x?y?z?0? 求它的方程? ?
解 方法一???已知从点M1到点M2的向量为n1?(?1? 0? ?2)? 平面x?y?z?0的法线向量为n2??(1? 1? 1)? ?
设所求平面的法线向量为n?(A? B? C)?
因为点M1(1? 1? 1)和M2(0? 1? ?1)在所求平面上? 所以nn1? 即?A?2C?0? A??2C? 又因为所求平面垂直于平面x?y?z?0? 所以nn1? 即A?B?C?0? B?C? 于是由点法式方程? 所求平面为
?2C(x?1)?C(y?1)?C(z?1)?0? 即2x?y?z?0?
方法二? 从点M1到点M2的向量为n1?(?1? 0? ?2)? 平面x?y?z?0的法线向量为n2??(1? 1? 1)? 设所求平面的法线向量n?可取为n1? n2? ?? 因为?
ijk n?n1?n2??10?2 ?2i?j?k?
111 所以所求平面方程为
2(x?1)?(y?1)?(z?1)?0? 即 2x?y?z?0?
例7 设P0(x0? y0? z0)是平面Ax?By?Cz?D?0外一点? 求P0到这平面的距离?
解 设en是平面上的单位法线向量? 在平面上任取一点P1(x1? y1? z1)? 则P0到这平面的距离为
d?|P1P0?en|??|A(x0?x1)?B(y0?y1)?C(z0?z1)|A?B?C222
?|Ax0?By0?Cz0?(Ax1?By1?Cz1)|A?B?C222?|Ax0?By0?Cz0?D|A?B?C222?
提示 en??1(A, B, C)? ??P1P0?(x0?x1, y0?y1, z0?z1)? 222A?B?C 例8 求点(2? 1? 1)到平面 x?y?z?1?0的距离? 解 d?
§7? 6 空间直线及其方程 一、空间直线的一般方程
空间直线L可以看作是两个平面1和2的交线? ??
如果两个相交平面1和2的方程分别为A1x?B1y?C1z?D1?0和A2x?B2y?C2z?D2?0? 那么直线L上的任一点的坐标应同时满足这两个平面的方程? 即应满足方程组
?A1x?B1y?C1z?D1?0?Ax?By?Cz?D?0? (1)
222?2 反过来? 如果点M不在直线L上? 那么它不可能同时在平面1和2上? 所以它的坐标不满足方程组(1)? 因此? 直线L可以用方程组(1)来表示? 方程组(1)叫做空间直线的一般方程? ??
设直线L是平面1与平面2的交线? 平面的方程分别为A1x?B1y?C1z?D1?0和A2x?B2y?C2z?D2?0? 那么点M在直线L上当且仅当它同时在这两个平面上? 当且仅当它的坐标同时满足这两个平面方程? 即满足方程组
?Ax?By?C1z?D1?0 ?11?
?A2x?B2y?C2z?D2?0 因此? 直线L可以用上述方程组来表示? 上述方程组叫做空间直线的一般方程? ?
通过空间一直线L的平面有无限多个? 只要在这无限多个平面中任意选取两个? 把它们的方程联立起来? 所得的方程组就表示空间直线L? 二、空间直线的对称式方程与参数方程
方向向量???如果一个非零向量平行于一条已知直线? 这个向量就叫做这条直线的方向向量? 容易知道? 直线上任一向量都平行于该直线的方向向量?
确定直线的条件???当直线L上一点M 0(x0? y0? x0)和它的一方向向量s???(m? n? p)为已知时? 直线L的位置就完全确定了?
|Ax0?By0?Cz0?D|A2?B2?C2?|1?2?1?1?(?1)?1?1|?3?3? 312?12?(?1)2 直线方程的确定???已知直线L通过点M0(x0? y0? x0)? 且直线的方向向量为s???(m? n? p)? 求直线L的方程?
设M (x? y? z)在直线L上的任一点? 那么 (x?x0? y?y0? z?z0)//s?? ?从而有
x?x0y?y0z?z0 ?? ??mnp这就是直线L的方程? 叫做直线的对称式方程或点向式方程?
注 当m n p中有一个为零 例如m?0 而n p?0时 这方程组应理解为 ?x?x0? ?y?y0z?z0??np?
而p?0时 这方程组应理解为
当m
p中有两个为零 例如m?n?0?x?x0?0 ?
y?y?00? n
直线的任一方向向量s的坐标m、n、p叫做这直线的一组方向数? 而向量s的方向余弦叫做
该直线的方向余弦?
由直线的对称式方程容易导出直线的参数方程? ?
x?x0y?y0z?z0 设???t? 得方程组
mnp?x?x0?mt? ?y?y0?nt?
??z?z0?pt此方程组就是直线的参数方程?
?x?y?z?1 例1?用对称式方程及参数方程表示直线??
?2x?y?3z?4 解?先求直线上的一点? 取x?1? 有
?y?z??2 ??
?y?3z?2?解此方程组? 得y??2? z?0? ?即(1? ?2? 0)就是直线上的一点?
再求这直线的方向向量s? 以平面x?y?z??1和2x?y?3z?4的法线向量的向量积作为直线的方向向量s :
ijk s?(i?j?k)?(2i?j?3k)?111 ?4i?j?3k?
2?13 因此? 所给直线的对称式方程为
y?2z x?1?? ?4?1?3y?2z 令x?1???t? ?得所给直线的参数方程为
4?1?3?x?1?4t? ?y??2?t?
??z??3t?y?z??2提示 当x?1时? 有???y?3z?2 此方程组的解为y??2? z?0?
ijk s?(i?j?k)?(2i?j?3k)?111 ?4i?j?3k2?13
y?2z 令x?1???t? 有x?1?4t
4?1?3 三、两直线的夹角
y??2?t z??3t
两直线的方向向量的夹角( 通常指锐角)叫做两直线的夹角?
设直线L1和L2的方向向量分别为s1?(m1? n1? p1)和s2?(m2? n2? p2)? 那么L1和L2的夹角?就是(s1, s2)和(?s1, s2)???(s1, s2)两者中的锐角? 因此cos??|cos(s1, s2)|? 根据两向量的夹角的余弦
^^^^公式? 直线L1和L2的夹角?可由
cos??|cos(s1, s2)|?^|m1m2?n1n2?p1p2|222m1?n1?p1?222m2?n2?p2
来确定?
从两向量垂直、平行的充分必要条件立即推得下列结论??? 设有两直线L1?
x?x1y?y1z?z1x?x2y?y2z?z2? L2?? 则 ????m1n1p1m2n2p2 L 1?L 2?m1m2?n1n2?p1p2?0? mnp L1 ???L2?1?1?1?
m2n2p2yy?2z 例2 求直线L1:x?1??z?3和L2:x??的夹角?
1?412?2?1 解 两直线的方向向量分别为s1 ??(1? ?4? 1)和s2 ??(2? ?2? ?1)? 设两直线的夹角为?? 则
cos??|1?2?(?4)?(?2)?1?(?1)|?1?2 2212?(?4)2?12?22?(?2)2?(?1)2 ?
所以???? ?
4 四、直线与平面的夹角
当直线与平面不垂直时? 直线和它在平面上的投影直线的夹角?称为直线与平面的夹角? 当直线与平面垂直时? 规定直线与平面的夹角为
?? 2 设直线的方向向量s?(m? n? p)? 平面的法线向量为n?(A? B? C)? 直线与平面的夹角为??? 那么