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平面向量数量积的坐标表示
坐标法是用代数方法研究几何问题的一个重要思想方法．用坐标来研究向量的数量积是本节的基本内容．
本节内容的重点是平面向量数量积的坐标表示以及由此推得的长度、角度、垂直关系的坐标表示．难点是用坐标法处理长度、角度、垂直等问题．
1．平面向量数量积的坐标表示
两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和． 设a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则a·b＝x1x2＋y1y2． 2．向量垂直的坐标表示的充要条件
两个非零向量垂直的充要条件是它们的数量积为0．即a⊥b?x1x2＋y1y2＝0． 3．向量长度公式的坐标表示
22x?y设a＝（x，y），则|a|＝x＋y，因此，|a|＝．
2
2
2
4．两向量夹角公式的坐标表示
已知非零向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），夹角为θ，则cosθ＝
a?b?|a||b|x1x2?y1y2x1?y1?x2?y2．
2222学习本课时，我们弄清楚下面的问题：
平面向量数量积用坐标表示的基础和意义是怎样的？
数量积的坐标表示的基础是：向量的坐标表示和数量积的运算律．设i、j分别是和x轴、y轴同向的单位向量，则i·i＝1，j·j＝1，i·j＝j·i＝0，设a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则
a·b＝（x1i＋y1j）·（x2i＋y2j）
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＝x1x2i＋x1y2i·j＋x2y1i·j＋y1y2j ＝x1x2＋y1y2．
数量积坐标表示的意义在于能使数量积的计算代数化，为用向量来处理几何问题，特别是解析几何问题提供了便利条件．
【学习方法指导】
怎样用向量的坐标形式求解向量积的问题？ ［例1］已知a＝（1，－2），b＝（2，0），求同时满足条件a·c＝4，b·c＝0的向量c．
解：设c＝（x，y），则
?a?c?4?x?2y?4??b?c?0由?得?2x?0?y?0
∴x＝0，y＝－2，∴所求向量c＝（0，－2）
怎样求向量的投影？
［例2］求向量a＝（1，2）在向量b＝（2，－2）方向上的投影．
分析：本题考查向量的数量积的几何意义．要求向量的投影，需先求两向量的夹角，而这可根据数量积的性质求得．
解：设向量a与b的夹角为θ，则
a?b1?2?2?(?2)10???.2222|a|?|b|101?2?2?(?2)cosθ＝
102)??2． ∴a在b方向上的投影＝|a|cosθ＝5×（－10
怎样把一个已知向量转化为单位向量？ ［例3］设a＝（x，y）≠0，则
a?|a|1x?y22(x,y)?(xx?y22,yx?y22)即得到一个单位向量 ．
怎样利用向量的几种形式解答问题？
［例4］已知a、b是两个非零向量，且|a|＝|b|＝|a－b|，求a与a＋b的夹角． 分析：由于向量的表示形式不同，有下面三种解法：
22
解法一：由|a|＝|b|，有|a|＝|b|
222
又由|b|＝|a－b|，得|b|＝|a|－2a·b＋|b|
12
∴a·b＝2|a|
而|a＋b|＝|a|＋2a·b＋|b|＝3|a| ∴|a＋b|＝3|a|
设a与a＋b的夹角为θ，则
2
2
2
2
1|a|2?|a|2a?(a?b)32??,|a|?|a?b|2∴θ＝30°． |a|?3|a|cosθ＝
解法二：设向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2）
2222
∵|a|＝|b|，∴x1＋y1＝x2＋y2 由|b|＝|a－b|
122
得x1x2＋y1y2＝2（x1＋y1）
12222222
由|a＋b|＝2（x1＋y1）＋2·2（x1＋y1）＝3（x1＋y1）
3x1?y1
得|a＋b|＝
设a与a＋b的夹角为θ，则
2212222(x1?y1)?(x1?y1)a?(a?b)32??.2222|a|?|a?b|2x1?y1?3?x1?y1cosθ＝
∴θ＝30°
解法三：由向量加法的几何意义，可作图5－7－1如下：
图5－7－1
在平面内任取一点O，作OA＝a，OB＝b，以OA、OB为邻边作平行四边形OACB． ∵|a|＝|b|，即|OA|＝|OB|，
∴OACB为菱形，OC平分∠AOB， 这时OC＝a＋b，BA＝a－b， 而|a|＝|b|＝|a－b|
即|OA|＝|OB|＝|BA|
∴△AOB为正三角形，则∠AOB＝60°， 于是∠AOC＝30°
即a与a＋b的夹角为30°．
点评：用向量的坐标形式入手容易，但计算量较大．用向量的几何形式简捷且直观，但不易入手．
怎样用平面向量的坐标形式解证几何问题？ ［例5］已知A（5，－1），B（－1，7），C（1，2），求△ABC中∠A的平分线AD的长．
图5－7－2
22(?1?5)?(7?1)解：|AB|＝＝10， 22(1?5)?(2?1)|AC|＝＝5．
设D分BC所成的比为λ，则
|BD||AB|?|DC||AC|＝2． λ＝
设点D（x0，y0），则
?1?2?117?2?211?,y0??31?23 x0＝1?2所以，|AD|＝
【知识拓展】
用向量方法可以解证三角和不等式方面的问题．
［例6］用向量法证明cos（α－β）＝cosαcosβ＋sin αsinβ（要求α－β∈［0，π］）．
证明：在单位圆上取两动点A、B，设以OA、OB为终边的角分别为α，β． 则A（cosα，sinα），B（cosβ，sinβ）
于是OA·OB＝cosαcosβ＋sinαsinβ
又OA·OB＝|OA|·|OB|cos（α－β）＝cos（α－β） ∴cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ．
点评：用向量方法证明三角的和差角公式显得方便．但也有缺陷，要限制α－β∈［0，π］，否则不符合定义中“向量夹角”的要求