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一、选择题(每题2分,共16分)
（a）?n,则下列说法正确的是 1.若G?(a),ord2.假定?是A与A(A?A??)间的一一映射,a?A,则??1[?(a)]和?[??1(a)]分别为 3.若G是群,a?G,ord(a)?18,则ord(a8)?
4.指出下列那些运算是二元运算
5.设A1,A2,?,An和D都是非空集合,而f是A1?A2???An到D的一个映射,那么 6.设?是正整数集合N?上的二元运算,其中a?b?max(a,b),那么?在Z中 7.在群G中,a,b?G,则方程ax?b和ya?b分别有唯一解为
8.设H是群G的子群,且G有左陪集分类{H,aH,bH,cH}.如果[G:H]?6,那么G?
9.设集合A中含有5个元素，集合B中含有2个元素，那么，A与B的积集合A×B中含有
（ ）个元素。
10.设A＝B＝R(实数集)，如果A到B的映射?：x→x＋2，?x∈R，则?是从A到B的 11.设Z15是以15为模的剩余类加群，那么，Z15的子群共有（ ）个。 12、G是12阶的有限群，H是G的子群，则H的阶可能是 13、下面的集合与运算构成群的是 14、关于整环的叙述，下列正确的是 15、关于理想的叙述，下列不正确的是 16.整数环Z中，可逆元的个数是 17. 设M2(R)=??????ab???cd???? a,b,c,d∈R，R为实数域?按矩阵的加法和乘法构成R上的二阶方阵
??环，那么这个方阵环是
?a?2,当a为偶数时18. 设Z是整数集，σ(a)=? ，a?Z，则σ是R的
a?1?,当a为奇数时?219、设A={所有实数x}，A的代数运算是普通乘法，则以下映射作成A到A的一个子集 的
同态满射的是( ).
20、设?是正整数集Z上的二元运算，其中a?b?max?a,b?（即取a与b中的最大者），那么?在Z中（ ） 21.设S3={（1），（1 2），（1 3），（2 3），（1 2 3），（1 3 2）}，则S3 中与元（1 2 3）不能交换的元的个数是( )
22、设?G,??为群，其中G是实数集，而乘法?:a?b?a?b?k，这里k为G中固定的常数。那么群?G,??中的单位元e和元x的逆元分别是（ ）
23、设H是有限群G的子群，且G有左陪集分类?H,aH,bH,cH?。如果H?6,那么G的阶G? 16.整数环Z中，可逆元的个数是( ).
24、设f:R1?R2是环同态满射，f(a)?b，那么下列错误的结论为（ ）
1
25. 设A={所有非零实数x},A的代数运算是普通乘法，则以下映射作成A到A的一个子集A的同态满射的是( ).
26. 在3次对称群S3中，阶为3的元有( ). 27．剩余类环Z6的子环有( ).
28、设a,b,c和x都是群G中的元素且x2a?bxc?1,acx?xac，那么x?（ ） 二、填空题(每题2分,共22分）
1.设A,B是集合,A?2,B?3,则可共定义 个从A到B的映射,其中有 个单射,有 个满射,有 个双射.
2.设群G,G?12,若存在a?G,ord(a)?6,则ord(a2)? ,子群H?(a3)在G中的指数是 . 3.设G?(a)且G?11,则群G的非平凡子群的个数为 .
4.在模9的剩余类环Z9?{[0],[1],[2],[3],[4],[5],[6],[7],[8]}中,[5]?9[8]? ,[5]?[8]? ,9方程x2?[1]的所有根的集合为 .
，，5.环Z12?{[0],[1],[2],[3],[4],[5][6][7],[8],[9],[10],[11]}的全部零因子为 .
6.在5次对称群S5中,(14)(135)? ,(12345)?1? ,ord(352)? . 7.整数加群Z是一个循环群,它的生成元为 . 8.设集合A?{?1,0,1},B?{a,b},则B?A? .
9.如果f是A与A间的一一映射，a是A的一个元，则f?1?f?a??? .
10.设集合A有一个分类，其中Ai与Aj是A的两个类，如果Ai?Aj，那么Ai?Aj? . 11.一个有限非交换群至少含有 个元素.
12.如果?是集合A的元间的一个等价关系,?a?,?b?是两个等价类,则?a???b?的充要条件是 .
11.设G是p阶循环群(p是素数),则G的生成元有 个.
12.群G的元a的阶是n,若d是正整数r和n的最大公因子,则ar的阶是 . 13.在无零因子环R中,如果对a,b?R有ab?0,那么必有 . 14.某个非空集合上具有对称性、传递性和 的一个二元关系是等价关系． 15.设5-循环置换??(31425),那么??1? . 16.设群G中元素a的阶为m,如果an?e,那么m与n之间存在的关系为 . 17.设集合A?{a,b,c},B?{1,2},则有B?A? .
18.设集合A有一个分类,其中Ai与Aj是A的两个类,如果Ai?Aj,那么Ai?Aj? . ，，19.环Z12?{[0],[1],[2],[3],[4],[5][6][7],[8],[9],[10],[11]}的全部零因子为 .
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20.在模9的剩余类环Z9?{[0],[1],[2],[3],[4],[5],[6],[7],[8]}中,方程x2?[1]的所有根的集合为 . 21.一个有限非交换群至少含有 个元素. 22.剩余类加群Z12有_________个生成元.
23、设群G的元a的阶是n，则ak的阶是________. 24. 6阶循环群有_________个子群.
25、设G为群，a?G，若a?12，则a8?_______________。 26. 模8的剩余类环Z8的子环有_________个.
27. 设A={a,b,c}，则A到A的一一映射共有__________个. 28、n次对称群Sn的阶是——————。 29、9-置换???123456789??分解为互不相交的循环之积是————。 ??543961827?30.剩余类环Z6的子环S={［0］,［2］,［4］}，则S的单位元是____________. 31.Z24中的所有可逆元是：__________________________.
32、凯莱定理的内容是：任一个子群都同一个________同构。
33. 设G?(a)为循环群，那么（1）若a的阶为无限，则G同构于__，（2）若a的阶为n，则G同构于___。
34. 在整数环Z中，2?3=__________________；
35. 设A1,A2为群G的子群，则A1A2是群G的子群的充分必要条件为___________。
36、除环的理想共有____________个。
37. 剩余类环Z5的零因子个数等于__________.
?12345??138、已知??? ?为S5上的元素，则?＝_。31. 每一个有限群都与一个__群同构。
?31254?39. 整数加群Z有__________个生成元.
40、设Z11是整数模11的剩余类环，则Z11的特征是_________. 41. 设群G=｛e，a1，a2，…，an-1｝，运算为乘法，e为G的单位元，则a1n =___. 42. 剩余类环Zn是域?n是_________.
43、设Z7 ={0，1，2，3，4，5，6}是整数模7的剩余类环，在Z7 [x]中, (5x-4)(3x+2)=________. 三、判断题(每空2分,共12分)
1.群中的元的阶都有限的群一定是有限群. 2.如果H是群G的一个非空子集,则H是群G的子群的充分必要条件是a,b?H?ab?H. 3.设N是群G的不变子群,则?a?G,?n?N有an?na. 4.设H是有限群G的子群,则H的左陪集个数与右陪集个数相等. 5.如果一个集合A的代数运算?同时适合结合律和交换律,那么在a1?a2???an里,元的次序可以掉换. 6.域
F的每一个元素皆有逆元.
7.任意集合与其真子集之间皆不能有一一映射存在. 8.若H1,H2都是群G的子群,则H1?H2也是群G的子群.
3
9.整除关系是整环Z的元素间的一个等价关系.
???0??10. S2????0??????C?是M2?C?的子域..
????11.循环群有且仅有一个生成元.
12.无限群中存在阶是有限的元素.
13.如果非空集合A的代数运算?同时适合结合律和交换律,则在a1?a2???an里,元的次序可以掉换.
14.设环R的加群是循环群,那么环R必是交换环. 15.设H是有限群G的子群,则H的左陪集个数与右陪集个数相等.
16、设A、B、D都是非空集合，则A?B到D的每个映射都叫作二元运算。 17、除环中的每一个元都有逆元。
18、如果循环群G??a?中生成元a的阶是无限的，则G与整数加群同构。 19、如果群G的子群H是循环群，那么G也是循环群。 20、域是交换的除环。
21、在环同态下，零因子的象可能不是零因子。
22、设f：G?G是群G到群G的同态满射，a∈G，则a与f (a)的阶相同。 23、一个集合上的全体一一变换作成一个变换群。 24、循环群的子群也是循环群。
25、整数环是无零因子环，但它不是除环。
26、一个环若没有左零因子，则它也没有右零因子。 27、只要f是A到A的一一映射，那么必有唯一的逆映射f?1。
28、如果环R的阶?2，那么R的单位元1?0。 29、指数为2的子群不是不变子群。（ ） 30、有限群G中每个元素a的阶都整除群G的阶。
31、对于环R,若a是R的左零因子,则a必同时是R的右零因子. 32、剩余类Zm是无零因子环的充分必要条件是m为素数. 四、证明题（共20分)
1.设G??????1??ab??cd??a,b,c,d?Z,ad?bc?1??,H?????x??01??x?Z??,证明: ?(1)G对普通乘法做成群.
(2)H?G,但H不是G的正规子群. 2.证明:集合{m2nm?Z,n?N,(m,2n)?1}关于数的加法运算和乘法运算构成整环
3.设G是群,a,b?G,若a?m,b?n,(m,n)?1,ab?ba,证明：ab?mn. 4.证明6阶交换群是循环群.
5.证明4Z关于通常的数的加法与乘法构成一个没有单位元的交换环. 6．在群 中, 对任意 , 方程 与 都有唯一解.
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