发布时间 : 星期四 文章初中升高中数学衔接最全经典教材更新完毕开始阅读
（1）若方程x2－3x－1＝0的两根分别是x1和x2，则
11?＝ ． x1x2（2）方程mx2＋x－2m＝0（m≠0）的根的情况是 ． （3）以－3和1为根的一元二次方程是 ．
3．已知a2?8a?16?|b?1|?0，当k取何值时，方程kx2＋ax＋b＝0有两个不相等的实数根？ 4．已知方程x2－3x－1＝0的两根为x1和x2，求(x1－3)( x2－3)的值．
习题2.1 A 组
1．选择题:
（1）已知关于x的方程x2＋kx－2＝0的一个根是1，则它的另一个根是（ ） （A）－3 （B）3 （C）－2 （D）2 （2）下列四个说法：
①方程x2＋2x－7＝0的两根之和为－2，两根之积为－7； ②方程x2－2x＋7＝0的两根之和为－2，两根之积为7；
③方程3 x2－7＝0的两根之和为0，两根之积为?④方程3 x2＋2x＝0的两根之和为－2，两根之积为0．
其中正确说法的个数是 （ ） （A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个
（3）关于x的一元二次方程ax2－5x＋a2＋a＝0的一个根是0，则a的值是（ ）
（A）0 （B）1 （C）－1 （D）0，或－1
2．填空:
（1）方程kx2＋4x－1＝0的两根之和为－2，则k＝ ．
（2）方程2x2－x－4＝0的两根为α，β，则α2＋β2＝ ．
（3）已知关于x的方程x2－ax－3a＝0的一个根是－2，则它的另一个根是 ．
（4）方程2x2＋2x－1＝0的两根为x1和x2，则| x1－x2|＝ ．
3．试判定当m取何值时，关于x的一元二次方程m2x2－(2m＋1) x＋1＝0有两个不相等的实数根？有两个相等的实数
根？没有实数根？
4．求一个一元二次方程，使它的两根分别是方程x2－7x－1＝0各根的相反数．
B 组
1．选择题:
若关于x的方程x2＋(k2－1) x＋k＋1＝0的两根互为相反数，则k的值为
（ ）
（A）1，或－1 （B）1 （C）－1 （D）0 2．填空:
（1）若m，n是方程x2＋2005x－1＝0的两个实数根，则m2n＋mn2－mn的值等于 ．
（2）如果a，b是方程x2＋x－1＝0的两个实数根，那么代数式a3＋a2b＋ab2＋b3的值是 ． 3．已知关于x的方程x2－kx－2＝0．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）设方程的两根为x1和x2，如果2(x1＋x2)＞x1x2，求实数k的取值范围． 4．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根为x1和x2．求： （1）| x1－x2|和（2）x13＋x23．
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7； 3x1?x2； 25．关于x的方程x＋4x＋m＝0的两根为x1，x2满足| x1－x2|＝2，求实数m的值．
C 组
1．选择题：
（1）已知一个直角三角形的两条直角边长恰好是方程2x2－8x＋7＝0的两根，则这个直角三角形的斜边长等于
（ ）
（A）3 （B）3 （C）6 （D）9 （2）若x1，x2是方程2x2－4x＋1＝0的两个根，则
2
（3）如果关于x的方程x2－2(1－m)x＋m2＝0有两实数根α，β，则α＋β的取值范围为
（ ） （A）α＋β≥
x1x2?的值为 （ ） x2x13 （A）6 （B）4 （C）3 （D）
211 （B）α＋β≤ （C）α＋β≥1 （D）α＋β≤1 22（4）已知a，b，c是ΔABC的三边长，那么方程cx2＋(a＋b)x＋
（ ）
（A）没有实数根 （B）有两个不相等的实数根
（C）有两个相等的实数根 （D）有两个异号实数根 2．填空：
若方程x2－8x＋m＝0的两根为x1，x2，且3x1＋2x2＝18，则m＝ ． 3． 已知x1，x2是关于x的一元二次方程4kx2－4kx＋k＋1＝0的两个实数根．
（1）是否存在实数k，使(2x1－x2)( x1－2 x2)＝－（2）求使
c＝0的根的情况是 43成立？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由； 2x1x2?－2的值为整数的实数k的整数值； x2x1x（3）若k＝－2，??1，试求?的值．
x2m2?0． 4．已知关于x的方程x?(m?2)x?42（1）求证：无论m取什么实数时，这个方程总有两个相异实数根；
（2）若这个方程的两个实数根x1，x2满足|x2|＝|x1|＋2，求m的值及相应的x1，x2． 5．若关于x的方程x2＋x＋a＝0的一个大于1、零一根小于1，求实数a的取值范围．
2.1 一元二次方程
练习
1． （1）C （2）D
2． （1）－3 （2）有两个不相等的实数根 （3）x2＋2x－3＝0 3．k＜4，且k≠0
4．－1 提示：(x1－3)( x2－3)＝x1 x2－3(x1＋x2)＋9
习题2．1 A 组
1． （1）C （2）B 提示：②和④是错的，对于②，由于方程的根的判别式Δ＜0，所以方程没有实
2数根；对于④，其两根之和应为－．
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（3）C 提示：当a＝0时，方程不是一元二次方程，不合题意．
172． （1）2 （2） （3）6 （3）3
4113．当m＞－，且m≠0时，方程有两个不相等的实数根；当m＝－时，方程有两个相等的实数根；
441当m＜－时，方程没有实数根．
44．设已知方程的两根分别是x1和x2，则所求的方程的两根分别是－x1和－x2，∵x1＋x2＝7，x1x2＝－1，∴(－x1)
＋(－x2)＝－7，(－x1)×(－x2)＝x1x2＝－1，∴所求的方程为y2＋7y－1＝0．
B组
1．C 提示：由于k=1时，方程为x2＋2＝0，没有实数根，所以k＝－1． 2．（1）2006 提示：∵m＋n＝－2005，mn＝－1，∴m2n＋mn2－mn＝mn(m＋n－1)＝－1×(－2005－1)＝2006． （2）－3 提示；∵a＋b＝－1，ab＝－1，∴a3＋a2b＋ab2＋b3＝a2(a＋b)＋b2(a＋b)＝(a＋b)( a2＋b2)
＝(a＋b)[( a＋b) 2－2ab]＝(－1)×[(－1)2－2×(－1)]＝－3．
3．（1）∵Δ＝(－k)2－4×1×(－2)＝k2＋8＞0，∴方程一定有两个不相等的实数根． （2）∵x1＋x2＝k，x1x2＝－2，∴2k＞－2，即k＞－1．
3abc?b3x1?x2bb2?4ac33
4．（1）| x1－x2|＝，＝?；（2）x1＋x2＝． 3a22a|a|5．∵| x1－x2|＝16?4m?24?m?2，∴m＝3．把m＝3代入方程，Δ＞0，满足题意，∴m＝3．
C组
1．（1）B （2）A
1，∴α＋β＝2(1－m)≥1． 2 （4）B 提示：∵a，b，c是ΔABC的三边长，∴a＋b＞c，∴Δ＝(a＋b)2－c2＞0． 2．（1）12 提示：∵x1＋x2＝8，∴3x1＋2x2＝2(x1＋x2)＋x1＝2×8＋x1＝18，∴x1＝2，∴x2＝6，∴m＝
x1x2＝12．
33．（1）假设存在实数k，使(2x1－x2)( x1－2 x2)＝－成立．
2 （3）C 提示：由Δ≥0，得m≤
∵一元二次方程4kx2－4kx＋k＋1＝0有两个实数根， ∴k≠0，且Δ＝16k2－16k(k+1)=－16k≥0，∴k＜0． ∵x1＋x2＝1，x1x2＝
∴ (2x1－x2)( x1－2 x2)＝2 x12－51x2＋2 x22 ＝2(x1＋x2)2－9 x1x2＝2－
k?1， 4k39(k?1)＝－，
24k939(k?1)7即＝，解得k＝，与k＜0相矛盾，所以，不存在实数k，使(2x1－x2)( x1－2 x2)＝－成立．
2524kx1x2x12?x22(x1?x2)2?2x1x2(x1?x2)2?－2＝（2）∵?2??2??4 x2x1x1x2x1x2x1x24k4k?4(k?1)4?4??? ＝， k?1k?1k?1xx∴要使1?2－2的值为整数，只须k＋1能整除4．而k为整数，
x2x1 ２７ / 101
∴k＋1只能取±1，±2，±4．又∵k＜0，∴k＋1＜1， ∴k＋1只能取－1，－2，－4，∴k＝－2，－3，－5．
x1x2?－2的值为整数的实数k的整数值为－2，－3和－5． x2x11（3）当k＝－2时，x1＋x2＝1，① x1x2＝， ②
8xx12 ①2÷②，得1?2＋2＝8，即???6，∴??6??1?0，
x2x1?∴能使
∴??3?22． 4．（1）Δ＝2(m?1)?2?0；
2m2 （2）∵x1x2＝－≤0，∴x1≤0，x2≥0，或x1≥0，x2≤0．
4 ①若x1≤0，x2≥0，则x2＝－x1＋2，∴x1＋x2＝2，∴m－2＝2，∴m＝4．此时，方程为x2－2x－4＝0，∴x1?1?5，x2?1?5．
②若x1≥0，x2≤0，则－x2＝x1＋2，∴x1＋x2＝－2，∴m－2＝－2，
∴m＝0．此时，方程为x2＋2＝0，∴x1＝0，x2＝－2．
5．设方程的两根为x1，x2，则x1＋x2＝－1，x1x2＝a， 由一根大于1、另一根小于1，得
(x1－1)( x2－1)＜0， 即 x1x2－(x1＋x2)+1＜0， ∴ a－(－1)＋1＜0，∴a＜－2． 此时，Δ＝12－4×(－2) ＞0， ∴实数a的取值范围是a＜－2．
2．2 二次函数
2.2.1 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像和性质
12
x，y＝－2x2的图象，通过这些函数图象与函数y＝x2的图象2问题1 函数y＝ax2与y＝x2的图象之间存在怎样的关系？ 为了研究这一问题，我们可以先画出y＝2x2，y＝
之间的关系，推导出函数y＝ax2与y＝x2的图象之间所存在的关系．
先画出函数y＝x2，y＝2x2的图象． 先列表： x x2 2x2 … … … －3 9 18 －2 4 8 －1 1 2 0 0 0 1 1 2 2 4 8 3 9 18 … … 从表中不难看出，要得到2x2的值，只要把相应的x2的值扩大两倍就可以了． 再描点、连线，就分别得到了函数y＝x2，y＝2x2的图象（如图2－1所示），从图
2
2－1我们可以得到这两个函数图象之间的关系：函数y＝2x的图象可以由函数y＝x2的图象各点的纵坐标变为原来的两倍得到．
同学们也可以用类似于上面的方法画出函数y＝
y＝2x 2y y＝x2 两个函数图象与函数y＝x2的图象之间的关系．
通过上面的研究，我们可以得到以下结论：
二次函数y＝ax2(a≠0)的图象可以由y＝x2的图象各点的纵坐标变为原来的a倍得到．在二次函数y＝ax2(a≠0)中，二次项系数a决定了图象的开口方向和在同一个坐标系中的开口的大小．
问题2 函数y＝a(x＋h)2＋k与y＝ax2的图象之间存在怎样的关系？
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12x，y＝－2x2的图象，并研究这2O 图2.2-1
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