发布时间 : 星期四 文章初中升高中数学衔接最全经典教材更新完毕开始阅读
(1)若方程x2-3x-1=0的两根分别是x1和x2,则
11?= . x1x2(2)方程mx2+x-2m=0(m≠0)的根的情况是 . (3)以-3和1为根的一元二次方程是 .
3.已知a2?8a?16?|b?1|?0,当k取何值时,方程kx2+ax+b=0有两个不相等的实数根? 4.已知方程x2-3x-1=0的两根为x1和x2,求(x1-3)( x2-3)的值.
习题2.1 A 组
1.选择题:
(1)已知关于x的方程x2+kx-2=0的一个根是1,则它的另一个根是( ) (A)-3 (B)3 (C)-2 (D)2 (2)下列四个说法:
①方程x2+2x-7=0的两根之和为-2,两根之积为-7; ②方程x2-2x+7=0的两根之和为-2,两根之积为7;
③方程3 x2-7=0的两根之和为0,两根之积为?④方程3 x2+2x=0的两根之和为-2,两根之积为0.
其中正确说法的个数是 ( ) (A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个
(3)关于x的一元二次方程ax2-5x+a2+a=0的一个根是0,则a的值是( )
(A)0 (B)1 (C)-1 (D)0,或-1
2.填空:
(1)方程kx2+4x-1=0的两根之和为-2,则k= .
(2)方程2x2-x-4=0的两根为α,β,则α2+β2= .
(3)已知关于x的方程x2-ax-3a=0的一个根是-2,则它的另一个根是 .
(4)方程2x2+2x-1=0的两根为x1和x2,则| x1-x2|= .
3.试判定当m取何值时,关于x的一元二次方程m2x2-(2m+1) x+1=0有两个不相等的实数根?有两个相等的实数
根?没有实数根?
4.求一个一元二次方程,使它的两根分别是方程x2-7x-1=0各根的相反数.
B 组
1.选择题:
若关于x的方程x2+(k2-1) x+k+1=0的两根互为相反数,则k的值为
( )
(A)1,或-1 (B)1 (C)-1 (D)0 2.填空:
(1)若m,n是方程x2+2005x-1=0的两个实数根,则m2n+mn2-mn的值等于 .
(2)如果a,b是方程x2+x-1=0的两个实数根,那么代数式a3+a2b+ab2+b3的值是 . 3.已知关于x的方程x2-kx-2=0.
(1)求证:方程有两个不相等的实数根;
(2)设方程的两根为x1和x2,如果2(x1+x2)>x1x2,求实数k的取值范围. 4.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1和x2.求: (1)| x1-x2|和(2)x13+x23.
25 / 101
7; 3x1?x2; 25.关于x的方程x+4x+m=0的两根为x1,x2满足| x1-x2|=2,求实数m的值.
C 组
1.选择题:
(1)已知一个直角三角形的两条直角边长恰好是方程2x2-8x+7=0的两根,则这个直角三角形的斜边长等于
( )
(A)3 (B)3 (C)6 (D)9 (2)若x1,x2是方程2x2-4x+1=0的两个根,则
2
(3)如果关于x的方程x2-2(1-m)x+m2=0有两实数根α,β,则α+β的取值范围为
( ) (A)α+β≥
x1x2?的值为 ( ) x2x13 (A)6 (B)4 (C)3 (D)
211 (B)α+β≤ (C)α+β≥1 (D)α+β≤1 22(4)已知a,b,c是ΔABC的三边长,那么方程cx2+(a+b)x+
( )
(A)没有实数根 (B)有两个不相等的实数根
(C)有两个相等的实数根 (D)有两个异号实数根 2.填空:
若方程x2-8x+m=0的两根为x1,x2,且3x1+2x2=18,则m= . 3. 已知x1,x2是关于x的一元二次方程4kx2-4kx+k+1=0的两个实数根.
(1)是否存在实数k,使(2x1-x2)( x1-2 x2)=-(2)求使
c=0的根的情况是 43成立?若存在,求出k的值;若不存在,说明理由; 2x1x2?-2的值为整数的实数k的整数值; x2x1x(3)若k=-2,??1,试求?的值.
x2m2?0. 4.已知关于x的方程x?(m?2)x?42(1)求证:无论m取什么实数时,这个方程总有两个相异实数根;
(2)若这个方程的两个实数根x1,x2满足|x2|=|x1|+2,求m的值及相应的x1,x2. 5.若关于x的方程x2+x+a=0的一个大于1、零一根小于1,求实数a的取值范围.
2.1 一元二次方程
练习
1. (1)C (2)D
2. (1)-3 (2)有两个不相等的实数根 (3)x2+2x-3=0 3.k<4,且k≠0
4.-1 提示:(x1-3)( x2-3)=x1 x2-3(x1+x2)+9
习题2.1 A 组
1. (1)C (2)B 提示:②和④是错的,对于②,由于方程的根的判别式Δ<0,所以方程没有实
2数根;对于④,其两根之和应为-.
3 26 / 101
(3)C 提示:当a=0时,方程不是一元二次方程,不合题意.
172. (1)2 (2) (3)6 (3)3
4113.当m>-,且m≠0时,方程有两个不相等的实数根;当m=-时,方程有两个相等的实数根;
441当m<-时,方程没有实数根.
44.设已知方程的两根分别是x1和x2,则所求的方程的两根分别是-x1和-x2,∵x1+x2=7,x1x2=-1,∴(-x1)
+(-x2)=-7,(-x1)×(-x2)=x1x2=-1,∴所求的方程为y2+7y-1=0.
B组
1.C 提示:由于k=1时,方程为x2+2=0,没有实数根,所以k=-1. 2.(1)2006 提示:∵m+n=-2005,mn=-1,∴m2n+mn2-mn=mn(m+n-1)=-1×(-2005-1)=2006. (2)-3 提示;∵a+b=-1,ab=-1,∴a3+a2b+ab2+b3=a2(a+b)+b2(a+b)=(a+b)( a2+b2)
=(a+b)[( a+b) 2-2ab]=(-1)×[(-1)2-2×(-1)]=-3.
3.(1)∵Δ=(-k)2-4×1×(-2)=k2+8>0,∴方程一定有两个不相等的实数根. (2)∵x1+x2=k,x1x2=-2,∴2k>-2,即k>-1.
3abc?b3x1?x2bb2?4ac33
4.(1)| x1-x2|=,=?;(2)x1+x2=. 3a22a|a|5.∵| x1-x2|=16?4m?24?m?2,∴m=3.把m=3代入方程,Δ>0,满足题意,∴m=3.
C组
1.(1)B (2)A
1,∴α+β=2(1-m)≥1. 2 (4)B 提示:∵a,b,c是ΔABC的三边长,∴a+b>c,∴Δ=(a+b)2-c2>0. 2.(1)12 提示:∵x1+x2=8,∴3x1+2x2=2(x1+x2)+x1=2×8+x1=18,∴x1=2,∴x2=6,∴m=
x1x2=12.
33.(1)假设存在实数k,使(2x1-x2)( x1-2 x2)=-成立.
2 (3)C 提示:由Δ≥0,得m≤
∵一元二次方程4kx2-4kx+k+1=0有两个实数根, ∴k≠0,且Δ=16k2-16k(k+1)=-16k≥0,∴k<0. ∵x1+x2=1,x1x2=
∴ (2x1-x2)( x1-2 x2)=2 x12-51x2+2 x22 =2(x1+x2)2-9 x1x2=2-
k?1, 4k39(k?1)=-,
24k939(k?1)7即=,解得k=,与k<0相矛盾,所以,不存在实数k,使(2x1-x2)( x1-2 x2)=-成立.
2524kx1x2x12?x22(x1?x2)2?2x1x2(x1?x2)2?-2=(2)∵?2??2??4 x2x1x1x2x1x2x1x24k4k?4(k?1)4?4??? =, k?1k?1k?1xx∴要使1?2-2的值为整数,只须k+1能整除4.而k为整数,
x2x1 27 / 101
∴k+1只能取±1,±2,±4.又∵k<0,∴k+1<1, ∴k+1只能取-1,-2,-4,∴k=-2,-3,-5.
x1x2?-2的值为整数的实数k的整数值为-2,-3和-5. x2x11(3)当k=-2时,x1+x2=1,① x1x2=, ②
8xx12 ①2÷②,得1?2+2=8,即???6,∴??6??1?0,
x2x1?∴能使
∴??3?22. 4.(1)Δ=2(m?1)?2?0;
2m2 (2)∵x1x2=-≤0,∴x1≤0,x2≥0,或x1≥0,x2≤0.
4 ①若x1≤0,x2≥0,则x2=-x1+2,∴x1+x2=2,∴m-2=2,∴m=4.此时,方程为x2-2x-4=0,∴x1?1?5,x2?1?5.
②若x1≥0,x2≤0,则-x2=x1+2,∴x1+x2=-2,∴m-2=-2,
∴m=0.此时,方程为x2+2=0,∴x1=0,x2=-2.
5.设方程的两根为x1,x2,则x1+x2=-1,x1x2=a, 由一根大于1、另一根小于1,得
(x1-1)( x2-1)<0, 即 x1x2-(x1+x2)+1<0, ∴ a-(-1)+1<0,∴a<-2. 此时,Δ=12-4×(-2) >0, ∴实数a的取值范围是a<-2.
2.2 二次函数
2.2.1 二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质
12
x,y=-2x2的图象,通过这些函数图象与函数y=x2的图象2问题1 函数y=ax2与y=x2的图象之间存在怎样的关系? 为了研究这一问题,我们可以先画出y=2x2,y=
之间的关系,推导出函数y=ax2与y=x2的图象之间所存在的关系.
先画出函数y=x2,y=2x2的图象. 先列表: x x2 2x2 … … … -3 9 18 -2 4 8 -1 1 2 0 0 0 1 1 2 2 4 8 3 9 18 … … 从表中不难看出,要得到2x2的值,只要把相应的x2的值扩大两倍就可以了. 再描点、连线,就分别得到了函数y=x2,y=2x2的图象(如图2-1所示),从图
2
2-1我们可以得到这两个函数图象之间的关系:函数y=2x的图象可以由函数y=x2的图象各点的纵坐标变为原来的两倍得到.
同学们也可以用类似于上面的方法画出函数y=
y=2x 2y y=x2 两个函数图象与函数y=x2的图象之间的关系.
通过上面的研究,我们可以得到以下结论:
二次函数y=ax2(a≠0)的图象可以由y=x2的图象各点的纵坐标变为原来的a倍得到.在二次函数y=ax2(a≠0)中,二次项系数a决定了图象的开口方向和在同一个坐标系中的开口的大小.
问题2 函数y=a(x+h)2+k与y=ax2的图象之间存在怎样的关系?
28 / 101
12x,y=-2x2的图象,并研究这2O 图2.2-1
x