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第九章 振动
9-7 若简谐运动方程为x?0.10cos(20?t?0.25?)(m)，求：（１） 振幅、频率、角频率、周期和初相；（２）t?2s时的位移、速度和加速度． 解 （１） 将x?0.10cos(20?t?0.25?)(m)与x?Acos(?t??)比较后可得：振幅A ＝
?10.10ｍ，角频率??20?s，初相?＝0.25?，则周期T?2?/??0.1s，频率v ?1/THz．
（２）t?2s时的位移、速度、加速度分别为
x?0.10cos(40??0.25?)?7.07?10?2m
v?dx/dt??2?sin(40??0.25?)??4.44m?s?1
a?d2x/d2t??40?2cos(40??0.25?)??2.79?102m?s?2
9-14 某振动质点的x-t 曲线如图（ａ）所示，试求：（1） 运动方程；（2） 点P 对应的相位；（３） 到达点P 相应位置所需的时间．
解 （1） 质点振动振幅A ＝0.10 ｍ．而由振动曲线可画出t0 ＝0 和t1 ＝4 ｓ时旋转矢
量，如图（ｂ） 所示．由图可见初相?0???/3（或?0?5?/3），而由?(t1?t0)??/2??/3得??5?/24s?1，则运动方程为
?5??x?0.10cos?t??/3??24?(m)
题9-14 图
（2） 图（ａ）中点P 的位置是质点从A／2 处运动到正向的端点处．对应的旋转矢量图
如图（ｃ） 所示．当初相取?0???/3时，点P 的相位为?P??0??(tP?0)?0（如果初相取成?0?5?/3，则点P 相应的相位应表示为?P??0??(tP?0)?2?．
（3） 由旋转矢量图可得?(tP?0)??/3，则tP?1.6-2
s．
-1
9-25 质量为0.10kg的物体，以振幅1.0×10 ｍ 作简谐运动，其最大加速度为4.0 ｍ·s 求：（1） 振动的周期；（2） 物体通过平衡位置时的总能量与动能；（3） 物体在何处其动能和势能相等？ （4） 当物体的位移大小为振幅的一半时，动能、势能各占总能量的多少？
解 （1） 由分析可得振动周期
T?2?/??2?A/amax?0.314s
（2） 当物体处于平衡位置时，系统的势能为零，由机械能守恒可得系统的动能等于总能量，即
Ek?E?11mA2?2?mAamax 22?2.0?10?3J
（3） 设振子在位移x0 处动能与势能相等，则有
2kx0/2?kA2/4
得 x0??2A/2??7.07?10?3m （４） 物体位移的大小为振幅的一半（即x?A/2）时的势能为
121?A?kx?k???E/4 22?2?则动能为 EK?E?EP?3E/4
EP?9-27 质量m ＝10g 的小球与轻弹簧组成一振动系统， 按x?0.5?8?t??????(cm)的规律作3?自由振动，求（1） 振动的角频率、周期、振幅和初相；（2） 振动的能量E；（3） 一个周期内的平均动能和平均势能． 解 （１） 将x?0.5?8?t??????1?(cm)与x?Acos(?t??)比较后可得：角频率??8?s，3?振幅A ＝0.5cm，初相φ＝π/3，则周期T ＝2π/ω＝0.25 ｓ
（2） 简谐运动的能量 E=1mA2?2?7.90?10?5J 2（3） 简谐运动的动能和势能分别为
1mA2?2sin2(?t??) 21EP=mA2?2cos2(?t??)
2Ek=则在一个周期中，动能与势能对时间的平均值分别为
1T1mA2?2222Ek=?mA?sin(?t??)dt??3.95?10?5J
T0241T1mA2?2222EP=?mA?cos(?t??)dt??3.95?10?5J
T024已知两同方向、同频率的简谐运动的运动方程分别为
x1=0.05cos(10t?0.75?)(m)；x2=0.06cos(10t?0.25?)(m)．求：（1） 合振动的振幅及初相；（2） 若有另一同方向、同频率的简谐运动x3=0.07cos(10t??3)(m)，则?3为多少时，x1 ＋x3 的振幅最大？ 又?3 为多少时，x2 ＋x3 的振幅最小？
9-28
题9-28 图
分析 可采用解析法或旋转矢量法求解.由旋转矢量合成可知，两个同方向、同频率简谐运动 的合成仍为一简谐运动，其角频率不变；合振动的振幅A=2A12?A2?2A1A2cos(?2??1)，其大小与两个分振动的初相差?2??1相关．而合振动的初相位
??arctan???A1sin?1?A2sin?2?/?A1cos?1?A2cos?2???
解 （1） 作两个简谐运动合成的旋转矢量图（如图）．因为????2??1???/2，故合振动振幅为
A=合振动初相位
2A12?A2?2A1A2cos(?2??1)?7.8?10?2m
??arctan???A1sin?1?A2sin?2?/?A1cos?1?A2cos?2????arctan11?1.48rad（2） 要使x1 ＋x3 振幅最大，即两振动同相，则由???2k?得
?3??1?2k??2k??0.75?，k?0，?1，?2，???
要使x1 ＋x3 的振幅最小，即两振动反相，则由???(2k?1)?得
?3??2?(2k?1)??2k??1.25?，k?0，?1，?2，???
9-30 两个同频率的简谐运动1 和2 的振动曲线如图（a）所示，求（1）两简谐运动的运动方程x1 和x2；（2） 在同一图中画出两简谐运动的旋转矢量，并比较两振动的相位关系；（3） 若两简谐运动叠加，求合振动的运动方程．
解 （1） 由振动曲线可知，A ＝0.1 ｍ，T ＝2ｓ，则ω＝2π／T ＝πｓ-1 ．曲线1表示质点初始时刻在x ＝0 处且向x 轴正向运动，因此φ1 ＝－π／2；曲线2 表示质点初始时刻在x ＝A /2 处且向x 轴负向运动，因此φ2 ＝π／3．它们的旋转矢量图如图（b）所示．则两振动的运动方程分别为
x1?0.1cos?πt?π/2??m? 和 x2?0.1cos?πt?π/3??m?
（2） 由图（b）可知振动2超前振动1 的相位为5π／6． （3）x?x1?x2?A?cos??t???
其中A??2A12?A2?2A1A2cos??2??1??0.052m
??arctanA1sin?1?A2sin?2??0.268???? ?arctanA1cos?1?A2cos?212则合振动的运动方程为 x?0.052cos?πt?π/12??m?
题9-30 图
第十章 波 动
10-9 已知一波动方程为y?0.05sin(10?t?2x)周期；（2） 说明x ＝0 时方程的意义，并作图表示．
(m)．（1） 求波长、频率、波速和
题10-9 图
解 （1） 将题给的波动方程改写为y?0.05cos?10?(t?x/5?)??/2?(m)与
y?Acos??(t?x/u)??0? 比较后可得波速u ＝15.7 ｍ·ｓ-1 ， 角频率ω＝10πｓ-1 ，故有
v=?/2?=5.0Hz，T?1/v=0.2s，?=uT=3.14 m
（2） 由分析知x ＝0 时，方程y?0.05cos(10?t??/2)点的运动方程（如图）．
(m)表示位于坐标原点的质