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食饵—捕食者模型稳定性分析
【摘要】自然界中不同种群之间还存在着一种非常有趣的既有相互依存、又有
相互制约的生活方式：种群甲靠丰富的天然资源生存，种群乙靠捕食甲为生，形成食饵-捕食者系统，如食用鱼和鲨鱼，美洲兔和山猫，害虫和益虫等。本文是基于食饵—捕食者之间的有关规律，建立具有自身阻滞作用的两种群食饵—捕食者模型，分析平衡点的稳定性，进行相轨线分析，并用数值模拟方法验证理论分析的正确性。
【关键词】食饵—捕食者模型 相轨线 平衡点 稳定性
一、问题重述
在自然界中，存在这种食饵—捕食者关系模型的物种很多。下面讨论具有自身阻滞作用的两种群食饵-捕食者模型，首先根据该两种群的相互关系建立模型，解释参数的意义，然后进行稳定性分析，解释平衡点稳定的实际意义，对模型进行相轨线分析来验证理论分析的正确性。
二、问题分析
本文选择渔场中的食饵(食用鱼)和捕食者(鲨鱼)为研究对象，建立微分方
程，并利用数学软件MATLAB求出微分方程的数值解，通过对数值结果和图形的观察，猜测出它的解析解构造。然后，从理论上研究其平衡点及相轨线的形状，验证前面的猜测。
三、模型假设
1.假设捕食者（鲨鱼）离开食饵无法生存；
2.假设大海中资源丰富，食饵独立生存时以指数规律增长；
四、符号说明
x(t)/x1(t)——食饵(食用鱼)在时刻t的数量；
y(t)/x2(t)——捕食者(鲨鱼)在时刻t的数量；
r1——食饵(食用鱼)的相对增长率；
r2——捕食者(鲨鱼)的相对增长率；
N1——大海中能容纳的食饵(食用鱼)的最大容量；
N2——大海中能容纳的捕食者(鲨鱼)的罪的容量；
?1——单位数量捕食者（相对于N2）提供的供养食饵的实物量为单位数量捕食
者(相对于N1)消耗的供养甲实物量的?1倍；
?2——单位数量食饵（相对于N1）提供的供养捕食者的实物量为单位数量捕食
者(相对于N2)消耗的供养食饵实物量的?2倍；
d——捕食者离开食饵独立生存时的死亡率。
五、模型建立
食饵独立生存时以指数规律增长，且食饵(食用鱼)的相对增长率为r1，即
x??rx，而捕食者的存在使食饵的增长率减小，设减小的程度与捕食者数量成正
比，于是x(t)满足方程
x?(t)?x(r?ay)?rx?axy (1)
比例系数a反映捕食者掠取食饵的能力。
由于捕食者离开食饵无法生存，且它独立生存时死亡率为d，即y???dy，而食饵的存在为捕食者提供了食物，相当于使捕食者的死亡率降低，且促使其增长。设这种作用与食饵数量成正比，于是y(t)满足
y?(t)?y(?d?bx)??dy?bxy (2)
比例系数b反映食饵对捕食者的供养能力。
方程(1)、(2)是在自然环境中食饵和捕食者之间依存和制约的关系，这里设有考虑种群自身的阻滞作用，是Volterra提出的最简单的模型。
下面，我们加入种群自身的阻滞作用，在上两式中加入Logistic项，即建立以下数学模型： ?xx??1 (3) x?(t)?rx?1???2??1111NN12???xx??1 (4) x?(t)?rx??1???2?2222NN?12??
六、模型求解
在此，我们采用MATLAB软件求解此微分方程组中的x1(t)、x2(t)的图形及相轨线图形。
设?1?1.5，?2?4，r1?1，r2?0.4，N1?3500,N2?500,使用MATLAB软件求解，程序代码如下： 1)建立M文件
function y=fun(t,x)
y=[x(1).*(1-x(1)./3500-1.5*x(2)./500),0.4.*x(2).*(-1+4.*x(1)./3500-x(2)./500)]';
2)在命令窗口输入如下命令：
[t,x]=ode45('fun1',[0,40],[2000,35]) 得到数值解如下：
t 0 0.1033 0.2066 0.3099 0.4132 0.8079 1.2026 1.5973 1.9919 2.3806 2.7693 (x(1),x(2)) 1.0e+003 * (单位：千克) 2.0000 0.0350 2.0654 0.0369 2.1276 0.0389 2.1863 0.0412 2.2412 0.0438 2.4113 0.0560 2.5111 0.0732 2.5358 0.0961 2.4870 0.1248 2.3741 0.1577 2.2127 0.1922