发布时间 : 星期一 文章2020高考数学一轮复习课时作业55直线与圆锥曲线(理)更新完毕开始阅读
课时作业55 直线与圆锥曲线
[基础达标] 1．过椭圆＋＝1内一点P(3,1)，求被这点平分的弦所在直线方程． 164解析：设直线与椭圆交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点， 由于A、B两点均在椭圆上， 故＋＝1，＋＝1， 164164两式相减得 x2y2x21y21x22y22x1＋x216x1－x2＋y1＋y24y1－y2＝0. 又∵P是A、B的中点，∴x1＋x2＝6，y1＋y2＝2， ∴kAB＝y1－y23＝－. x1－x243∴直线AB的方程为y－1＝－(x－3)． 4即3x＋4y－13＝0. 2. x2y23[2019·郑州入学测试]已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的离心率为，以椭圆的四个顶ab2点为顶点的四边形的面积为8. (1)求椭圆C的方程； 1(2)如图，斜率为的直线l与椭圆C交于A，B两点，点P(2,1)在直线l的左上方．若2∠APB＝90°，且直线PA，PB分别与y轴交于点M，N，求线段MN的长度． c3?＝，?a2解析：(1)由题意知?2ab＝8，??a＝b＋c，222 ??a＝8，解得?2?b＝2.?2 1
所以椭圆C的方程为＋＝1. 821(2)设直线l：y＝x＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 2x2y2??联立，得?xy??8＋2＝1，y＝x＋m，222212 消去y，化简整理，得x＋2mx＋2m－4＝0. 22则由Δ＝(2m)－4(2m－4)>0，得－2 a＝2，??c2解析：(1)由题意得?＝，a2??a＝b＋c，222 x2y22 解得b＝2，所以椭圆C的方程为＋＝1. 42y＝kx－1，??22(2)由?xy＋＝1，??42 22得(1＋2k)x－4kx＋2k－4＝0. 222设点M，N的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)， 则y1＝k(x1－1)，y2＝k(x2－1)， 4k2k－4x1＋x2＝2，x1x2＝2， 1＋2k1＋2k所以|MN|＝＝＝21＋k22x2－x1[x1＋x222＋2y2－y12 －4x1x2] 1＋k4＋6k21＋2k. |k|1＋k2又因为点A(2,0)到直线y＝k(x－1)的距离d＝2， 1|k|4＋6k所以△AMN的面积为S＝|MN|·d＝， 221＋2k|k|4＋6k10由＝，解得k＝±1. 21＋2k34．[2019·山西八校联考]如图，设椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，上顶点为A，左、右焦点分别为F1，F2，线段OF1，OF2的中点分别为B1，B2，且△AB1B2是面积为4的直角三角形． 2 (1)求该椭圆的离心率和标准方程； (2)过B1作直线l交椭圆于P，Q两点，使得PB2⊥QB2，求直线l的方程． x2y2解析：(1)设所求椭圆的标准方程2＋2＝1(a>b>0)，右焦点为F2(c,0)． ab因为△AB1B2是直角三角形，且|AB1|＝|AB2|， 3 所以∠B1AB2＝90°， 因此|OA|＝|OB2|，得b＝. 2由c＝a－b得4b＝a－b， 222222cc252222故a＝5b，c＝4b，所以离心率e＝＝. a51c2在Rt△AB1B2中，OA⊥B1B2，故S△AB1B2＝·|B1B2|·|OA|＝|OB2|·|OA|＝·b＝b.由22题设条件S△AB1B2＝4得b＝4，所以a＝5b＝20.因此所求椭圆的标准方程为＋＝1. 204(2)由(1)知B1(－2,0)，B2(2,0)．由题意知直线l的斜率存在且不为0，故可设直线l的方程为x＝my－2，代入椭圆方程并整理得(m＋5)y－4my－16＝0. 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 则y1＋y2＝→→→222222222x2y24m16，y1·y2＝－2， m＋5m＋52→又B2P＝(x1－2，y1)，B2Q＝(x2－2，y2)， 所以B2P·B2Q＝(x1－2)(x2－2)＋y1y2＝(my1－4)(my2－4)＋y1y2＝(m＋1)y1y2－4m(y1＋y2)16m＋116m16m－64＋16＝－－2＋16＝－2， 2m＋5m＋5m＋5→2→由PB2⊥QB2，得B2P·B2Q＝0， 即16m－64＝0，解得m＝±2. 所以满足条件的直线l有两条，其方程分别为x＋2y＋2＝0和x－2y＋2＝0. 5．[2019·唐山五校联考]在直角坐标系xOy中，长为2＋1的线段的两端点C，D分别→(1)求曲线E的方程； →→→(2)经过点(0,1)作直线与曲线E相交于A，B两点，OM＝OA＋OB，当点M在曲线E上时，求四边形AOBM的面积． 解析：(1)设C(m,0)，D(0，n)，P(x，y)． →→由CP＝2 PD，得(x－m，y)＝2(－x，n－y)， →在x轴、y轴上滑动，CP＝2 PD.记点P的轨迹为曲线E. 4