发布时间 : 星期四 文章辽宁各中考数学分类解析专题：圆更新完毕开始阅读
且PA=PB，
C为优弧AB上任意一点（不与A、B重合），连接OP、AB，AB与OP相交于点D，连接AC、
BC。
（1）求证：PB为⊙O的切线； （2）若tan?BCA?2，⊙O的半径为13，求弦AB的长。 3
【答案】解：（1）证明：如图，连接OA，OB，
∵AP为圆O的切线，∴OA⊥AP，即∠OAP=90°。 在△OAP和△OBP中，
∵AP=BP(已知)，OA=OB(半径相等)，OP=OP(公共边)， ∴△OAP≌△OBP（SSS）。∴∠OAP=∠OBP=90°。 ∴OB⊥BP，即BP为圆O的切线。 （2）延长线段BO，与圆O交于E点，连接AE，
∵BE为圆O的直径，∴∠BAE=90°。 ∵∠AEB和∠ACB都对AB，∴∠AEB=∠ACB。 ∴tan?AEB?tan?BCA?设AB=2x，则AE=3x，
在Rt△AEB中，BE=213，根据勾股定理得：?2x???3x??213。 解得：x=2或x=－2（舍去）。 ∴AB=2x=4。
【考点】切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，圆周角定理，锐角三角函数定义，勾股定理。
【分析】（1）连接OA，OB，根据AP为⊙O的切线，利用切线的性质得到∠OAP为直角，由半径OA=OB，已知AP=BP，以及公共边OP，用SSS证得△OAP≌△OBP，由全等三角形的对应
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角相等得到∠OBP为直角，即BP垂直于OB，可得出BP为⊙O的切线。
（2）延长BO与圆交于点E，连接AE，利用同弧所对的圆周角相等得到∠AEB=∠ACB，由锐角三角函数定义，可得出tan∠AEB的值，由BE为圆O的直径，利用直径所对的圆周角为直角，得到∠BAE为直角，在Rt△AEB中，设AB=2x，得到AE=3x，再由直径BE的长，利用勾股定理得到关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即可求出弦AB的长。 4. （2012辽宁大连10分）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D，过点D作AC的垂线交AC的延长线于点E，连接BC交AD于点F。 （1）猜想ED与⊙O的位置关系，并证明你的猜想； （2）若AB＝6，AD＝5，求AF的长。
【答案】解：（1）ED与⊙O的位置关系是相切。理由如下：
连接OD，
∵∠CAB的平分线交⊙O于点D，∴CD?BD。∴OD⊥BC。 ∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，即BC⊥AC。 ∵DE⊥AC，∴DE∥BC。∴OD⊥DE。 ∴ED与⊙O的位置关系是相切。 （2）连接BD，
∵AB＝6，AD＝5，
∴在Rt△ABD中，BD?AB2?AD2?36?25?11。 ∵AB是直径，∴∠ADB=90°。
∴在Rt△ABD和Rt△ADE中，∠E=∠ADB=90°，∠EAD=∠DAB， ∴△ABD∽△ADE。∴
DE5DEAD5?。∴DE?，即?11。
BDAB61162222?5?25在Rt△ADE中，AE?AD?DE?5??11?=。
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?5?11?2?DE?62?=11。 ∵DE是圆的切线，∴DE=CE?AE。∴CE==25AE6625117∴AC=AE－CE=?=。
663ACAF∵BC∥DE，∴△ACF∽△AED。∴。 =AEAD7?5AC?AD314==。 ∴AF=AF=255AE6【考点】角平分线的性质，圆周角定理，垂径定理，平行的判定和性质，切线的判定，勾股定理，相似三角形的判定和性质。
【分析】（1）连接OD，根据∠CAB的平分线交⊙O于点D，则CD?BD，依据垂径定理可以得到：OD⊥BC，然后根据直径的定义，可以得到OD∥AE，从而证得：DE⊥OD，则DE是圆的切线。
（2）首先证明△ABD∽△ADE，依据相似三角形的对应边的比相等，即可求得DE
的长，然后利用切割线定理即可求得CE的长，和AC的长，再根据△ACF∽△AED，对应边的比相等即可求解。
5. （2012辽宁丹东10分）如图，在△ABC中，∠BAC＝30°，以AB为直径的⊙O经过点C.过点C作
⊙O的切线交AB的延长线于点P.点D为圆上一点，且BC?CD，弦AD的延长线交切线PC于点E，连 接BC．
（1）判断OB和BP的数量关系,并说明理由； （2）若⊙O的半径为2，求AE的长．
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【答案】解：（1）OB=BP。理由如下：连接OC，
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∵PC切⊙O于点C，∴∠OCP=90°。
∵OA=OC，∠OAC=30°，∴∠OAC=∠OCA=30°。 ∴∠COP=60°。∴∠P=30°。 在Rt△OCP中，OC=（2）由（1）得OB=
1OP=OB=BP。 21OP。 2∵⊙O的半径是2，∴AP=3OB=3×2=6。
∵BC?CD，∴∠CAD=∠BAC=30°。∴∠BAD=60°。 ∵∠P=30°，∴∠E=90°。 在Rt△AEP中，AE=
11AP=×6=3。 22【考点】切线的性质，含30度角的直角的性质，圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理。 【分析】（1）首先连接OC，由PC切⊙O于点C，可得∠OCP=90°，又由∠BAC=30°，即可求得∠COP=60°，∠P=30°，然后根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，证得OB=BP。
（2）由（1）可得OB=
1OP，即可求得AP的长，又由BC?CD，即可得2∠CAD=∠BAC=30°，从而求得∠E=90°，从而在Rt△AEP中求得答案。
23.6. （2012辽宁锦州10分）如图：在△ABC中，AB=BC，以AB为直径的⊙O交AC于点D，
过D做直
线DE垂直BC于F，且交BA的延长线于点E. （1）求证：直线DE是⊙O的切线；
1 （2）若cos∠BAC=，⊙O的半径为6，求线段CD的长.
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【答案】解：（1）证明：连接BD、OD，
∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，即BD⊥AC。
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