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题 目 购房策略问题
摘要: 近年来，商品房销售火爆，为了更好的投资赚钱，我们建立了一套数学模型，该模型合理的利用的数学规划的思想，以及采用等比数列建立了等额本息房贷还款模型，其中还利用了Excel，lingo等软件对其进行处理，超额房贷计算器对其检验，使其结果更均有合理性。
问题一：为了建立一个等额本息房贷还款模型，我们通过年利率计算方式算出我们应付的本息和，然后减去我们以按歇方式多付的部分利息，多付部分成等比数列，最终建立等额本息房贷还款模型，解得总共向银行还利息总额为13464.95元，逐月被银行拿走的利息（见表1）
问题二：为了建立一套详细的购房与商贷数学模型我们建立了一个以利息最小为目标函数的表达式，满足约束条件首付和每月还款额，而且我们还把年终奖金平均到家庭每月的收入中，最终利用lingo软件解得的结果为王先生需要贷款316050元，年限5年每月还款额为6000元，家庭每月开销上限为2100元。
问题三：为了解决两家购房问题我们把王先生的无息款项170000元（不包括年终奖金30000元）用来提前还款，把年终奖30000元借给外甥A，从而建立最小利息的目标函数，最终解得的结果为外甥A向王先生借30000元，每月向王先生还款500元直至所借钱还清为止，并且外甥A还需还房贷1316元，也就是说外甥A的家庭开销上限为1700。
问题四：给问题是对问题三的进一步扩充，同理我们采用问题三的方法对其进行求解把最终所付的利息总和设为目标函数，利用超级房贷计算器解得的结果为：外甥B、C、D、E、F向王先生借款金额分别为20000元、10000元、40000元、20000元、50000元。年限分别为4年、3年、1年、5年、1年。利息总和总共节省了51538元。
问题五：首先我们对甲、乙、丙3个项目的增长情况进行分析。从增长的平均数可以看出：投资的回报率是大于银行的利率的，所以得出结论是支持王先生投资，然后，我们通过对甲、乙、丙增长的平均数和方差来确定投资的百分比，最终用王先生可贷款数额乘以百分比，得出对甲、乙、丙三个项目的投资分别为10493元、11149元、11149元。
关键字：购房策略，数学规划，lingo,Excel
一、问题重述 购房策略问题
近些年来，我国商品房销售火爆。由于升值潜力大，不少人愿意投资于房产。但是，高位的房价又迫使大多数人不得不向银行贷款。然后，用按揭的方式逐月偿还银行贷款额。注意：向银行借贷时间必须以年为单位，如1年、2年、3年.…等。
第一问：2007年9月1号，某高校教师王先生到某商品房去看房，销售小姐向他推荐等额本息还款方式，并给他一个银行还贷明细表。这个明细表给出了若向银行借了1万元钱、不同年限的等额房贷还款额。王先生不知还款公式怎样写，请你给出等额本息房贷还款公式，帮王先生解惑。如果向银行借1万元，借10年。请详细计算逐月还完1万元后，总共向银行还款的总额以及逐月被银行拿走的利息钱。
资料：等额房贷
特点：住房商业贷款中最基础、最普遍的品种。顾名思义，等额房贷即“每个月所偿还的金额相同”，直到付清所有的本金和利息；适合人群：等额房贷比较适合收入稳定的工薪阶层。
第二问：王先生看中了一套135m2、单价为3230/m2的房子，准备9月10号前成交。他们家每月收入5600元，每月家庭开销在1500-3000元之间服从均匀分布，每年还有3万元的年终奖金。这时候王先生手头有15万元的可支配的现金，现在请你建立一套详细的购房与商贷快速计算还贷数学模型，并为王先生设计还贷方案而且要指出每月的家庭开销上限（注：首付不得低于20%）。
第三问：但事情有变：2008年3月10号，王先生经多方筹措，借到了无息的款项20万（包括年终奖金3万），准备提前还款，但其外甥A此时在本地购买了总房价为20万的房子，但首付不得低于40%，但外甥A手头只有可支配现金5万元，每月全家收入3500元，每月家庭开销在1500-2000元之间也服从均匀分布。她来向王先生借钱买房，王先生很为难，但此时，聪明的王夫人给出了一套新方案，使两家人购房均欢欣鼓舞，你能给出这个新方案吗？
第四问：但这事还未开始实施就被王先生其他五个外甥知道了，均想加入这一方案，并准备在3月份都购买房子，他们购买房子的总价以及他们的经济情况见表2。那么，王夫人怎样设计这7套房子的购房还贷及每个家庭的每月开销上限呢？请你帮她拿出详细的方案。即每套房子向银行贷款多少年、多少钱、是否提前还款及还款多少、总共向银行交了多少利息钱、这种方案总共节约了多少钱等等。
第五问：王先生拿到方案后，觉得应该多向银行借钱，想把尽量多的钱拿出来投资三个项目，但遭到其他人的反对，你支持王先生的观点吗？请说明理由。如果你支持王先 的观点，问最多可拿多少钱投资这三个项目，各投资多少？
二、问题分析
问题一：该问题要求建立一个等额本息房贷还款模型，通过该模型计算向银行借一万元，借10年共向银行还款总额以及逐年被银行拿走的利息。我们打算先以年利率计算方式算出我们应付的本息和，然后减去我们若以按歇方式多付的部分利息，多付部分利息成等比数列，最终准备建立等额本息房贷还款模型。
问题二：该问题要求我们建立一套详细的购房与商贷快速计算还贷数学模型，我们打算建立一个以利息最小为目标函数的表达式，满足约束条件首付和每月还款额，在购买者支付起的条件下，以及在n年后，把本息和还清。在该模型中，我们把年终奖金计
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算到家庭每月的收入中。最终用lingo软件对问题进行求解。
问题三：该问题要求我们给出一种新方案，使两家人都满意。我们打算把王先生的无息款项，借一部分给他外甥，让他外甥能购买房，并且所付利息不是较多，同时让他外甥，在现有的能力下，在能够把每月的房贷还清的同时，还能够向王先生还部分钱，是王先生把这部分钱用来还自己的房贷，这种方案使王先生最终所付的房贷利息比他准备把无息款项用来一次性提前还款的方案较少。
问题四：要求我们设计这7套房子的购房还款及每个家庭开销上限。我们将准备利用模型三的方式对其进行求解一下7套房为整体对王先生17万可支配资金进行内部调整使最终所付利息和最小化。
问题五：要求我们考虑王先生是进行投资好，还是不对其进行投资，我们将会从甲、乙、丙三个项目的回报率和银行利率进行比较，从而确定是否进行投资，假若进行投资，我们还将要考虑到王先生最多可拿出多少钱来进行投资，以及各投资多少。我们将会从甲、乙、丙三个项目的增长情况进行分析，也许会从平均数和方差的情况对其进行总体分析，从而确定投资百分比。
三、模型假设
假设1：向银行借1万元，借期为10年，月利率为0.459%； 假设2：每月家庭收入和开销服从均匀分布；
假设3：在还款期间银行的年利率以及月利率不受外界的影响；
假设4：王先生及其外甥月消费在我们控制的范围内没有突发事故的发生； 假设5：在借款问题上王先生对他几个外甥的态度一致； 假设6：王先生贷款6、7、8、9的年利率为5.508%；
四、符号说明
x表示贷款总额；
y表示每月还款数；
n表示贷款年数； a表示年利率； b月利率；
P表示房子总价；
Q表示购买者首付金额；
M表示购房者每月至多承受起的还款额；
Z表示购房者在本息和还清后一共支付的利息； N表示购房者购房时的可支配现金； m表示购房者实际月还款额； c表示实际首付额；
d表示王先生借给外甥A的钱；
D表示借给外甥Ad元后剩下钱用于还款还需付的利息；
B表示王先生借给外甥A的与不借给外甥钱相比多付的利息；
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E表示外甥A每月替王先生还
d元所节省的利息； 54f表示利息总和；
dB、dC、dD、dE、dF分别表示外甥BCDEF向王先生借的钱；
nB、nC、nD、nE、nF分别表示外甥BCDEF贷款年数；
FB、FC、FD、FE、FF分别表示外甥BCDEF采用该方案后所付的利息；
F表示7家采用该方案后所付的利息总和；； R表示王先生最高贷款总额；
S表示王先生最高贷款额与已贷数额的差；
五、模型的建立及求解
模型一： 等额本息房贷还款模型
我们根据要求建立了一个等额本息房贷还款模型，通过该模型计算向银行借一万元，借10年共向银行还款总额以及逐年被银行拿走的利息。在这里我们先以年利率计算方式算出我们应付的本息和，然后减去我们若以按歇方式多付的部分利息，多付部分利息成等比数列，最终建立了等额本息房贷还款模型。
具体求解如下：
y?212n?1x(1?a)n?y?(1?b)?(1?b)???(1?b)?(12n?1)???12n
b(110000?dF)(1?a)ndF1800???220012n化简结果如下： (1?b)?154x(1?a)n表示若贷款n年一次性偿还的本息和
212n?1y?(1?b)?(1?b)???(1?b)?(12n?1)???表示按揭方式偿还比n年后一次性偿还
少付的利息
逐月还完1万元后，总共向银行还款的总额以及逐月被银行拿走的利息钱见下表格：
表1. 逐月被银行拿走的利息 月份 1 2 3 4 5 本金数 10000 9938.103 9875.909 9813.418 9750.629 月利率 0.004781 0.004781 0.004781 0.004781 0.004781 利息 47.8125 47.51655 47.21919 46.92041 46.62019 月份 本金数 41 42 43 44 45 7278.641 7203.732 7128.464 7052.837 6976.849 3
月利率 0.004781 0.004781 0.004781 0.004781 0.004781 利息 34.801 34.44284 34.08297 33.72138 33.35806 月份 本金数 81 82 83 84 85 3985.223 3894.568 3803.478 3711.954 3619.992 利息 19.05435 18.6209 18.18538 17.74778 17.30808