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埃博拉病毒的传播预测与控制
摘要
2014年非洲爆发了历史上最为严重的病毒疫情--埃博拉。据科学研究报道，这个病毒一旦感染人体，将有着高达90%以上的死亡率，这是一种世上最厉害的感染病毒（生物安全等级为4级），如何消灭埃博拉成为当前的首要任务。当然，疾病的传播、患病人口的预测、药物的生产和运输，都是消灭埃博拉必须考虑的因素。
根据病毒传播率、感染者人数的预测、药物的合理分配和隔离人数的比重等因素，本文运用随机微分方程、产销平衡和最优控制三种算法分别建立了随机微分方程模型、线性规划模型和最优隔离控制模型。这三个模型分别解决了埃博拉病毒的传播规律、感染者人数的预测问题、药物的运输问题和以隔离控制为决定性作用因素的优化问题。
针对模型一：将环境因素作为随机变量，结合病毒传播率，本文建立了随机微分方程模型，对以后10个月的患病人口总数进行了预测。利用数值解方法,对埃博拉病毒感染者人数进行预测,并通过仿真过程验证了疾病传播率的一个临界值，得出能使埃博拉传播速度降低直至消亡的一个条件。
针对模型二：假设几内亚、利比里亚和塞拉利昂为需求地，美国、中国、日本、俄罗斯、法国以及瑞士为药物生产地。利用产销平衡原理，建立了时间优化模型，求得产地与需求地之间的最短运输时间为15.8小时。
针对模型三：本模型基于SIR传染病模型，利用极值原理给出了最优控制的设计方案，通过仿真，验证了最优控制方案的优越性。同时，由协态方程得到当 系统控制变量为0.50时，隔离效果最佳，也证明了隔离是控制疾病继续传播最有效的控制措施。
本文三个模型均使用的官方数据，而且内容上层层优化，互相补充，使文章所述更为具体，更为实用，为埃博拉病毒问题的解决提供了一份可靠地，可行的，可依赖的数学模型。
关键词：埃博拉病毒 预测 随机微分方程 优化问题 最优隔离控制
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1.问题重述—不用翻译
1995年5月14日，扎伊尔发现罕见传染病埃博拉。2014年，埃博拉病毒首次爆发就夺走了近300人的生命,2014年再度爆发,大约4000人命丧黄泉。现在世界医学组织已经宣布：他们研究的新药物可以阻止埃博拉病毒，并非晚期病人。
本文疾病的传播、所需药物数量、可行的运输系统、运送的地点、生产疫苗或药物的速度和其他起决定性作用的因素考虑，建立一个符合实际的实用模型，可以达到优化消灭埃博拉或减小当前压力的目的。除了为此次比赛建立的模型解决方法外，为世界医学组织准备一份1-2页非技术信函，以用于他们的宣告。
2.问题分析
本文关于埃博拉病毒的传播、患病人数的预测、所需药物数量、可行的运输系统、疫苗的预防和药物的治疗等几个方面展开讨论和研究。
模型一主要解决疾病的传播和患病人口预测问题。由于人口密度、周围是否有患病人群、生活环境等因素的随机性，所以将其视为随机变量。然后本文将病毒传播率作为一个高斯白噪声过程带入常微分方程，得到关于埃博拉病毒传播的随机微分方程。此时不考虑人口的出生率、死亡率和人口的出入境情况，本文根据官方数据，得到2014年3月22号至今的感染者人数，从而得到一个疾病的传播率，进而预测未来10个月的感染者的总数。
模型二主要解决药物的运输时间与成本的问题。由于几内亚、利比里亚和塞拉利昂这三个国家患病人数最多，所以选择这三个国家作为需求地。现在具备疫苗或药物生产能力的国家：美国、中国、日本、俄国、法国和瑞士。本文选择这六个国家作为产地。本模型只考虑在生产地和需求地之间的药物运输。首先保证各国所使用的运输机为同款运输机，在运输过程中，速度均为同等速度。接下来，本文将产销平衡模型中的成本替换成运输所用时间，这样成本最低变成时间最短。然后结合模型一中的患病人口预测结果，再加上每个病人对应药量的比例系数，则计算出任意时刻所需要的药物总量。在满足各需求地需求量的前提下，本文再利用线性规划模型得到最优调运方案，即时间优化模型。
模型三在模型二的基础上，分析其他可以消灭埃博拉的决定性因素。本文使用最优隔离控制法，把易感染者、染病者、治愈者、隔离者以及总人口数作为初始值代入目标函数，则会存在一个最优控制因素，再将其对应的状态解代入协态方程，得到最优控制因素——隔离的确切最优解，再通过数值仿真完成对本文模型的最后优化。
3随机微分传播模型
根据WHO提供的官方数据得知，目前感染者人数已达1.3万人，集中分布在几内亚、利比里亚和塞拉利昂三个国家。本文针对这三个国家的患病情况，建立埃博拉病毒的随机微分模型来描述病毒的传播过程，分析并预测未来感染人数的变化规律。 3.1 符号说明
符号 符号说明 Team # 41029 page 3 of 26
Z
感染者人数占总人口比例
埃博拉传播过程中人与人之间的接触率 由于得了患埃博拉所造成的死亡率增加值
埃博拉病毒的传播率
平均传播率 环境干扰强度
布朗运动
C
?
?
?0
?
W
3.2模型假设
? 假设埃博拉病毒在研究过程中不会发生变异。 ? 埃博拉病毒的研究期是2014.3.22至2015.1.22，研究对象为几内亚、利比里
亚以及塞拉利昂三个国家。本次疫情是埃博拉病毒发现以来，规模最大的一次暴发流行，且感染者集中在这三个国家，基于此假设条件的模型更具有实用性、有效性、针对性。
? 在病毒传播期内这三个国家的总人数不变；不考虑出生和死亡因素对传播
的影响；感染者病愈后不会再感染。 3.3 模型的建立与求解
为了解决环境因素对病毒传播过程随机干扰的问题，本文利用随机微分方程研究该过程。并结合实际数据，再利用确定性模型估计疾病传播率。最后本文预测出这三个国家未来10个月内埃博拉病毒感染者人数，并得出其概率分布。
在模型中，将传播率设定为一常数，因此得出的解是一固定曲线。埃博拉病毒感染者人数占总人口的比例满足下面的常微分方程
dZ?(?C??)(1?Z)Z （1） dt由于受到环境因素的随机干扰，埃博拉病毒的传播率会跟着改变。本文将传 播率设为一个高斯白噪声过程[1]代入（1），得到埃博拉传播过程的随机微分方程，即用?0?p?(t)来代替（1）中的?：
dZ?F(Z)dt?G(Z)dW （2）
?(t)是零均值且方差为1的高其中F(Z)?(?0C??)(1?Z)Z,G(Z)??C(1?Z)Z，
斯白噪声，?0和?为常数，分别代表埃博拉在传播过程中的平均传播率和环境干扰的强度。于是，所得解（即埃博拉病毒感染者人数占总人口的比例）就变为一随机过程；解曲线将会随着布朗运动变化，从而显示环境因素的干扰对解的影响。
Team # 41029 page 4 of 26 随机微分方程(2)得不到它的解析解，所以必须采用随机微分方程数值解方法对其进行分析。本文采用Euler法：
Z(j,k)?Z(j?1,k)?F(Z(j?1,K))(tj?tj?1)?G(Z(j?1,k))?W(j)?W(j?1)? （3）
其中
F(Z(j?1,k))?(?0C??)[1?Z(j?1,k)]Z(j?1,k),
G(Z(j?1),k)??C(1?Z(j?1,k))Z(j?1,k),j?1,2,?,M;k?1,2,?,K j和k分别代表时间节点和轨道，M是时间节点的个数，K是样本轨道数。
对每一条固定的轨道k，根据以上公式及已知条件，可求出不同时间节点上的毒感染者人数的比例值Z(1,k),Z(2,k),?Z(M,k)，从而，该过程的均值为
1Z(j)?K?2?Z(j,k),1?j?M
k?1k??1K1K22方差为S(j)??(Z(j,k)?Z(j))??Z(j,k)?[Z(j)]2,1?j?M。
Kk?1Kk?1首先，在假定各参数不变的情况下，本文通过确定性模型计算在几内亚、利
比里亚、塞拉利昂三个国家中病毒的传播速度。
WHO的统计显示：2014年埃博拉病毒最肆虐的一年，比如感染者人数从几十例突增至13000多例。本文以2014年3月为起点，利用上述随机微分方程模型对未来10个月感染者人数的比例变化趋势给出预测。
根据WHO的统计数据，2014年3月22日至2015年1月22日埃博拉病毒未至晚期的感染者人数为13282例[5]；2013年末在爆发埃博拉病毒之前三个国家总人口为22131341人[6]。故研究期内埃博拉病毒感染者人数占总人口的比例约为6.00?10?4。一般情况下，埃博拉病毒的平均潜伏期为发作到死亡约为18天左右[7]，故取??0.6,C?0.896[8]。进一步，假设这些参数10个月内不变。
由确定性情形下感染者比例所满足的常微分方程（1）、这三个国家的感染者人数比例，通过仿真，得出疾病传播速率??10。然后，在式（3）中取
M?20,K?100，对未来10个月感染者人数比例进行预测，如图1（a）所示：