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《最优化方法》模拟试题二
一、填空题：
1．最优化问题的数学模型一般为：____________________________，其中
___________称为目标函数，___________称为约束函数，可行域D可以表示
为_____________________________，若______________________________，
称x*为问题的局部最优解，若_____________________________________，称
x*为问题的全局最优解。
2．设f(x)= x12?2x1x2?10x1?5x2，则其梯度为___________，海色矩阵___________,令x?(1,0)T,d?(1,?1)T,则f(x)在x处沿方向d的一阶方向导数为___________，几何意义为___________________________________,二阶
方向导数为___________________，几何意义为_________________________
___________________________________。
3．设严格凸二次规划形式为：
2minf(x)?x12?x2?2x1?x2s.t.x1?x2?1x1?0x2?0
则其对偶规划为___________________________________________。
4．求解无约束最优化问题：minf(x),x?Rn，设xk是不满足最优性条件的第k步迭代点，则：
用最速下降法求解时，搜索方向dk=___________ 用Newton法求解时，搜索方向dk=___________ 用共轭梯度法求解时，搜索方向dk=_______________
____________________________________________________________。 二．（10分）简答题：试叙述求解无约束优化问题的优化方法及其优缺点。（200字左右） 三．（25分）计算题
1． （10分）用一阶必要和充分条件求解如下无约束优化问题的最优解：
3minf(x)?2x1?3x12?6x1x2(x1?x2?1).
2． （15分）用约束问题局部解的一阶必要条件和二阶充分条件求解约束
问题：
mins.t.其中p?1,a?0.
f(x)??xipi?1nc(x)??xi?a?0i?1n
四． 证明题（共33分） 1．（10分）
1设f(x)?xTGx?rTx??是正定二次函数，证明一维问题
2min?(a)?f(xk?adk)
的最优步长为ak???f(xk)TdkdGdkTk.
2．（23分）考虑如下规划问题
min
s.t.f(x),x?Rn
ci(x)?0,i?1,2,?,m.其中f(x),ci(x)(i?1,?,n)是凸函数，证明： （1） （7分）上述规划为凸规划；
（2） （8分）上述规划的最优解集R*为凸集；
（3） （8分）设f(x),ci(x)(i?1,2,?,n)有连续的一阶偏导数，若x*是KT点，
则x*是上述凸规划问题的全局解。