发布时间 : 星期二 文章2017年山东省济南市中考数学试卷(含答案解析版)更新完毕开始阅读
∵点F是BD的中点， ∴DF=BF， ∵∠DFE=∠BFG， ∴△DEF≌△BGF（SAS）， ∴BG∥DP，
∴∠P+∠CBG=180°，
在四边形ACPE中，∠AEP=∠ACP=90°， 根据四边形的内角和得，∠CAE+∠P=180°， ∴∠CAE=∠CBG，
在Rt△ADE中，∠DAE=60°，
∴tan∠DAE==，
即：，
同理：，
∴，
∵∠CBG=∠CAE， ∴△BCG∽△ACE， ∴∠BCG=∠ACE，
∴∠ECG=∠ACE+∠ACG=∠BCG+∠ACG=90°， 在Rt△CEG中，EF=GF，
∴CF=EF=EG， ∵△BCG∽△ACE，
∴=，
在Rt△CEG中，tan∠CEG==，
∴∠CEG=60°， ∵CF=EF，
∴△CEF是等边三角形．
【点评】此题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，四边形内角和公式，解本题的关键是构造全等三角形，难点是判断出△BCG∽△ACE，是一道典型的中考常考题．
29．（9分）（2017?济南）如图1，矩形OABC的顶点A，C的坐标分别为（4，0），（0，6），直线AD交B C于点D，tan∠OAD=2，抛物线M1：y=ax2+bx（a≠0）过A，D两点．
（1）求点D的坐标和抛物线M1的表达式；
（2）点P是抛物线M1对称轴上一动点，当∠CPA=90°时，求所有符合条件的点P的坐标；
（3）如图2，点E（0，4），连接AE，将抛物线M1的图象向下平移m（m＞0）个单位得到抛物线M2．
①设点D平移后的对应点为点D′，当点D′恰好在直线AE上时，求m的值； ②当1≤x≤m（m＞1）时，若抛物线M2与直线AE有两个交点，求m的取值范围．
【考点】HF：二次函数综合题．
【分析】（1）如图1中，作DH⊥OA于H．则四边形CDHO是矩形．在Rt△ADH中，解直角三角形，求出点D坐标，利用待定系数法即可解决问题；
（2）如图1﹣1中，设P（2，m）．由∠CPA=90°，可得PC2+PA2=AC2，可得22+（m﹣6）2+22+m2=42+62，解方程即可；
（3）①求出D′的坐标；②构建方程组，利用判别式△＞0，求出抛物线与直线AE有两个交点时的m的范围；③求出x=m时，求出平移后的抛物线与直线AE的交点的横坐标；结合上述的结论即可判断．
【解答】解：（1）如图1中，作DH⊥OA于H．则四边形CDHO是矩形．
∵四边形CDHO是矩形， ∴OC=DH=6，
∵tan∠DAH=∴AH=3， ∵OA=4， ∴CD=OH=1， ∴D（1，6），
=2，
把D（1，6），A（4，0）代入y=ax2+bx中，则有，
解得，
∴抛物线M1的表达式为y=﹣2x2+8x．
（2）如图1﹣1中，设P（2，m）．