发布时间 : 星期三 文章江苏省苏州市2019届高三上学期期末考试数学(含答案)更新完毕开始阅读
2019届高三模拟考试试卷(苏州) 数学参考答案及评分标准
1. {3} 2. －1 3. 25 4. 11.
512
5. 6. 3 7. 10 8. 9. 23 10. (x－5)2＋(y－2)2＝17 3633
1
12. (－2，2－23) 13. 82－8 14. [0，1] 18
15. 证明：(1) 在直三棱柱ABCA1B1C1中，BB1⊥底面ABC. 因为AB?平面ABC，所以BB1⊥AB.(2分)
因为AB⊥BC，BB1∩BC＝B，BB1，BC?平面B1BCC1， 所以AB⊥平面B1BCC1.(4分)
又AB?平面ABE，所以平面ABE⊥平面B1BCC1.(6分)
(2) 取AB中点G，连结EG，FG. 因为E，F分别是A1C1，BC的中点， 1
所以FG∥AC，且FG＝AC.(8分)
2因为AC∥A1C1，且AC＝A1C1， 所以FG∥EC1，且FG＝EC1，
所以四边形FGEC1为平行四边形，(11分) 所以C1F∥EG.
因为EG?平面ABE，C1F?平面ABE， 所以C1F∥平面ABE.(14分)
16. 解：(1) 在△ABC中，因为2bcos A＝2c－3a， abc
由正弦定理＝＝，
sin Asin Bsin C所以2sin Bcos A＝2sinC－3sin A.(2分) 在△ABC中，sin C＝sin(A＋B)，
所以2sin Bcos A＝2sin(A＋B)－3sin A，
即2sin Bcos A＝2sin Acos B＋2cos AsinB－3sin A， 所以3sin A＝2cos Bsin A，(4分) 在△ABC中，sin A≠0，所以cos B＝π
又B∈(0，π)，所以B＝.(6分)
6(2) f(x)＝cos x·(sin x·cos
ππ3
＋cos x·sin )－(8分) 334
3
. 2
133＝sin x·cos x＋cos2x－ 224
π1331
＝sin 2x＋(cos 2x＋1)－＝sin(2x＋)，(10分) 44423π1
所以f(A)＝sin(2A＋).
23
π5π
在△ABC中，B＝，且A＋B＋C＝π，所以A∈(0，)，(12分)
66
πππππ1
所以2A＋∈(，2π)，所以当2A＋＝，即A＝时，f(A)的最大值为.(14分)
3332122x2y2
17. 解：(1) 设椭圆方程为2＋2＝1(a>b>0)，半焦距为c，
ab1c1
因为椭圆的离心率为，所以＝，即a＝2c.
2a2
a2
因为A到右准线的距离为6，所以a＋＝3a＝6，(2分)
c解得a＝2，c＝1，(4分)
x2y2
所以b＝a－c＝3，所以椭圆E的标准方程为＋＝1.(6分)
43
2
2
2
3
(2) 直线AB的方程为y＝(x＋2)，
2
?y＝2（x＋2），由?得x＋3x＋2＝0，解得x＝－2或x＝－1，
xy
?4＋3＝1，
2
2
2
3
3
则点B的坐标为(－1，).(9分)
2
3
由题意，得右焦点F(1，0)，所以直线BF的方程为y＝－(x－1).(11分)
43
y＝－（x－1），
413
由22得7x2－6x－13＝0，解得x＝－1或x＝，(13分)
7xy
＋＝1，43
???
139
所以点M坐标为(，－).(14分)
714
18. 解：(1) 以O为原点，直线OA为x轴建立平面直角坐标系， π11
因为0<θ<，tan θ＝，所以OP：y＝x.
222
设P(2t，t)，由OP＝5，得t＝1，所以P(2，1).(2分)
(解法1)由题意得2m·PA＝m·PB，所以BP＝2PA，所以点B的纵坐标为3. 因为点B在直线y＝x上，所以B(3，3)，(4分) 335所以AB＝PB＝. 22
→→
(解法2)由题意得2m·PA＝m·PB，所以BP＝2PA.
设A(a，0)(a>0)，又点B在射线y＝x(x>0)上，所以可设B(b，b)(b>0)，
???a＝，?2－b＝2（a－2），→→
由BP＝2PA，得?所以?2(4分)
??1－b＝－2，?
?b＝3，
3
所以A(，0)，B(3，3)，AB＝
2答：点A，B之间的距离为
335（3－）2＋32＝. 22
3
35
千米.(6分) 2
(2) (解法1)设总造价为S，则S＝n·OA＋22n·OB＝(OA＋22OB)·n， 设y＝OA＋22OB，要使S最小，只要y最小.
当AB⊥x轴时，A(2，0)，这时OA＝2，OB＝22， 所以y＝OA＋22OB＝2＋8＝10.(8分)
当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y＝k(x－2)＋1(k≠0). 11
令y＝0，得点A的横坐标为2－，所以OA＝2－；
kk令x＝y，得点B的横坐标为
2k－1
.(10分) k－1
2k－11
因为2－>0，且>0，所以k<0或k>1，
kk－114（2k－1）
此时y＝OA＋22OB＝2－＋，
kk－1－4－（k＋1）（3k－1）1
y′＝2＋＝.(12分)
k（k－1）2k2（k－1）2当k<0时，y在(－∞，－1)上递减，在(－1，0)上递增， 33
所以ymin＝y|k＝－1＝9<10，此时A(3，0)，B(，)；(14分)
22
3k＋118（k－1）＋441
当k>1时，y＝2－＋＝10＋－＝10＋>10. kk－1k－1kk（k－1）
32
综上，要使OA，OB段道路的翻修总价最少，A位于距O点3千米处，B位于距O点千米
2处.(16分)
(解法2)如图，作PM∥OA交OB于点M，交y轴于点Q，作PN∥OB交OA于点N，因为P(2，1)，所以OQ＝1.
因为∠BOQ＝45°，所以QM＝1，OM＝2， 所以PM＝1，PN＝OM＝2.
2PA1PB
由PM∥OA，PN∥OB，得＝，＝，(8分)
OBABOAAB21PAPB
所以＋＝＋＝1.(10分)
OBOAABAB
设总造价为S，则S＝n·OA＋22n·OB＝(OA＋22OB)·n， 设y＝OA＋22OB，要使S最小，只要y最小.
21OA2OB
y＝OA＋22OB＝(OA＋22OB)(＋)＝5＋2(＋)≥9，(14分)
OBOAOBOA32
当且仅当OA＝2OB时取等号，此时OA＝3，OB＝.
2
32
答：要使OA，OB段道路的翻修总价最少，A位于距O点3千米处，B位于距O点千米处.(16
2分)