发布时间 : 星期日 文章2020江苏高考数学二轮热点难点微专题突破-微专题02-平面向量的最值、范围问题更新完毕开始阅读
2020江苏高考数学二轮热点难点微专题突破
微专题02 平面向量的最值、范围问题
平面向量在江苏高考中属于C级考点，与平面向量的最值有关的问题主要包括与参数有关的最值、与向量的模、与向量的夹角、与向量的数量积有关的最值．常见转化的方法有① 坐标化；② 基底化；③ 几何法，可以建立函数或用基本不等式，也可以找出动点的轨迹，利用几何意义求解．
【例1】如图，已知扇形AOB的圆心角为90°，半径为1，点P是圆弧AB上的动点，作点→→
P关于弦AB的对称点Q，则OP·OQ的取值范围为________．
答案：[2－1,1]
解析：(方法1)坐标法：以OA为x轴，OB为y轴，建立平面直角坐标系，则点A(1,0)，B(0,1)，则直线AB：x＋y－1＝0，由于点P在单位圆在第一象限的圆弧上，可设P(cosθ，sinθ)，θx＋cosθy＋sinθ
＋－1＝0，?22?π?∈??0，2?，设点P关于直线AB的对称点Q(x，y)，则?y－sinθ
??x－cosθ×?－1?＝－1，
1
1
1
1
11
可
?x1＝1－sinθ，?
得?即Q(1－sinθ，1－cosθ)． ?y＝1－cosθ，?1
→→
所以OP·OQ＝cosθ(1－sinθ)＋sinθ(1－cosθ)＝sinθ＋cosθ－2sinθcosθ. π
θ＋?，则t∈[1，2]，且2sinθcosθ＝t2－1. 令t＝sinθ＋cosθ＝2sin??4?
→→→→
15?2
故OP·OQ＝f(t)＝－t2＋t＋1＝－??t－2?＋4，所以OP·OQ的取值范围为[2－1，1]. (方法2)极化恒等式：设PQ的中点为M.
→→→→→→→→→→→→
则OP·OQ＝(OM＋MP)·(OM－QM)＝(OM＋MP)·(OM－MP)＝OM2－MP2，根据图形可得，
→→→→
当点P与A(或B)重合时，点Q与P重合，且|OM|max＝1，|MP|min＝0，则(OP·OQ)max＝1；→→→22当点P位于弧AB的中点时，|OM|min＝，|MP|max＝1－，则(OP·OQ)min＝2－1，所以
22→→
OP·OQ的取值范围为[2－1，1].
【例2】已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝1，且对于一切实数x，|a＋xb|≥|a＋b|恒成立，则a与b的夹角大小为________． 3π答案：
4
解析：(方法1)将|a＋xb|≥|a＋b|平方可得2＋2xa·b＋x2≥2＋2a·b＋1， 即x2＋2(x－1)a·b－1≥0对于x∈R恒成立，Δ＝4(a·b)2＋8a·b＋4≤0，
－123π
即4(a·b＋1)2≤0，所以a·b＝－1，即cosθ＝＝－，所以a，b的夹角为.
242
→→→
(方法2)如图，令OA＝a，AP＝xb(P为直线l上任意一点)，则OP＝a＋xb，所以|a＋xb|＝OP→→
的最小值即点O到直线l的距离OH，即OH＝|a＋b|，即OH＝a＋b，所以b＝AH.在Rt△OHA中，AH＝1，OA＝2，cos∠HOA＝
2π3π
，即∠HOA＝，所以a，b的夹角为. 244
【方法规律】
关于向量模的问题可以考虑三个方法：① 坐标化；② 基底化；③ 几何法．本题代数解法就是一元二次不等式的解集为R的处理，而本题第(1)问几何作法其本质就是求直线上任一点到直线外一点距离的最小值的问题，第(2)问根据向量等式以及坐标法求出动点轨迹方程，再利用几何法或参数方程求解．
【例3】如图，直角梯形ABCD中，已知AB∥CD，∠DAB＝90°，AD＝AB＝4，CD＝1，动11→→→
点P在边BC上，且满足AP＝mAB＋nAD(m，n均为正实数)，则＋的最小值为________．
mn
7＋43答案：
4
解析：(方法1)建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0,0)，B(4,0)，D(0,4)，C(1,4)．又kBC→→→→→→
44＝－，故BC：y＝－(x－4)．又AP＝mAB＋nAD，AB＝(4,0)，AD＝(0,4)，所以AP＝(4m,4n)，
3311?113n
＋＝(3n＋4m)?＋?＝7＋＋故P(4m,4n)．又点P在直线BC上，即3n＋4m＝4，即4??mn??mn?m
22??3n＝4m，11?7＋4312－634m?≥7＋212＝7＋43，所以?m＋n?min＝，当且仅当?即m＝，
n43?3n＋4m＝4，?
83－12n＝时取等号．
3
→→→→→→→→→→→
nn?(方法2) 因为AP＝mAB＋nAD，所以AP＝mAB＋n(AC＋CD)＝mAB＋nAC－AB＝??m－4?AB4→
n3n
＋nAC.又C，P，B三点共线，故m－＋n＝1，即m＋＝1，以下同解法1.
44【方法规律】
11
本题求解二元“＋”的最值，主要是利用三点共线的条件建立m，n的等式，再利用消元
mn或者基本不等式求解最值．
（通过本课题的学习，你学到了什么？你还有其它疑惑吗？）
A组
1．如图，已知AC＝BC＝4，∠ACB＝90°，M为BC的中点，D为以AC为直径的圆上一动→→
点，则AM·DC的最大值是________．
答案：8＋45
解析：以AC的中点为坐标原点，AC所在的直线为x轴，建立直角坐标系，则M(－2,2)，→→
A(2,0)，C(－2,0)．设点D的坐标为(2cosθ，2sinθ)，则AM＝(－4,2)，DC＝(－2－2cosθ，－→→
2sinθ)，所以AM·DC＝－4(－2－2cosθ)＋2(－2sinθ)＝8＋8cosθ－4sinθ＝8－80sin(θ－φ)≤8＋45.
2．如图，在同一平面内，点A位于两平行直线m，n的同侧，且A到m，n的距离分别为→→→→
1,3.点B，C分别在m，n上，|AB＋AC|＝5，则AB·AC的最大值是________．
21答案：
4
解析：(方法1) 以直线n为x轴，过A且垂直于n的直线为y轴，建立如图所示的直角坐→→→→
标系，则A(0,3)，B(x1,2)，C(x2,0)，从而AB＝(x1，－1)，AC＝(x2，－3)，则AB·AC＝x1x2＋3.→→→→
9
又因为|AB＋AC|＝5，即?x1＋x2?2＋16＝5，故(x1＋x2)2＝9≥4x1x2，从而x1x2≤，此时AB·AC
421
＝x1x2＋3≤，当且仅当x1＝x2时等号成立．
4
→→→→→→→→
5
(方法2) 设P为BC的中点，则AB＋AC＝2AP，从而由|AB＋AC|＝5得|AP|＝.又AB·AC＝
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