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第十五章 坐标系与参数方程
命题探究
解答过程
(1)曲线C的普通方程为
2
+y=1. (2)直线l的普通方程为x+4y-a-4=0,故C上的点(3cos θ,sin θ)到l的距离 - - .
.由题设得= ,所以a=8; 当a=-1时,直线l的普通方程为x+4y-3=0.
d=
- -
解得 或 由
从而C与l的交点坐标为(3,0), -
.
当a≥-4时,d的最大值为当a<-4时,d的最大值为综上,a=8或a=-16
- - .由题设得= ,所以a=-16.
考纲解读
考点 内容解读 能在极坐标系中用极坐标表示要求 高考示例 2017课标全国Ⅱ,22; 常考题型 预测热度 1.坐标系与极坐标 点的位置,能通过极坐标和直角坐标的互化研究曲线性质 掌握 2016课标全国Ⅱ,23; 2015课标Ⅰ,23;2015湖南,12; 2014安徽,4 解答题 ★★★ 2.参数方程 了解参数方程及参数的意义,能掌握 2017课标全国Ⅲ,22;2017江苏,21C; 解答题 ★★★ 借助于参数方程与普通方程的互化进一步研究曲线的性质 2016课标全国Ⅲ,23 2015陕西,23;2014课标Ⅰ,23; 2014北京,3
分析解读 坐标系与参数方程是高考数学的选考内容,重点考查直线与圆的极坐标方程,极坐标与直角坐标的互化;直线、圆与椭圆的参数方程以及参数方程与普通方程的互化.本章在高考中以极坐标方程(参数方程)为载体,考查直线与圆、圆锥曲线的位置关系等知识,分值约为10分,属中档题.
五年高考
考点一 坐标系与极坐标
1.(2017北京,11,5分)在极坐标系中,点A在圆ρ-2ρcos θ-4ρsin θ+4=0上,点P的坐标为(1,0),则|AP|的最小值为 . 答案 1
2.(2017天津,11,5分)在极坐标系中,直线4ρcos - +1=0与圆ρ=2sin θ的公共点的个数为 . 答案 2
3.(2017课标全国Ⅱ,22,10分)在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C1的极坐标方程为ρcos θ=4.
(1)M为曲线C1上的动点,点P在线段OM上,且满足|OM|·|OP|=16,求点P的轨迹C2的直角坐标方程; (2)设点A的极坐标为 ,点B在曲线C2上,求△OAB面积的最大值.
解析 (1)设P的极坐标为(ρ,θ)(ρ>0),M的极坐标为(ρ1,θ)(ρ1>0).由题设知|OP|=ρ,|OM|=ρ1=由|OM|·|OP|=16得C2的极坐标方程ρ=4cos θ(ρ>0). 因此C2的直角坐标方程为(x-2)+y=4(x≠0).
(2)设点B的极坐标为(ρB,α)(ρB>0).由题设知|OA|=2,ρB=4cos α,于是△OAB面积S=|OA|·ρB·sin∠AOB =4cos α· - =2 - -当α=-时,S取得最大值2+ . 所以△OAB面积的最大值为2+ . 4.(2016课标全国Ⅱ,23,10分)在直角坐标系xOy中,圆C的方程为(x+6)+y=25. (1)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求C的极坐标方程;
(2)直线l的参数方程是 (t为参数),l与C交于A,B两点,|AB|= ,求l的斜率. 解析 (1)由x=ρcos θ,y=ρsin θ可得圆C的极坐标方程ρ+12ρcos θ+11=0.(3分) (2)在(1)中建立的极坐标系中,直线l的极坐标方程为θ=α(ρ∈R).(4分)
2
2
2
2
2
2
π
π
.
π π
≤2+ . π 设A,B所对应的极径分别为ρ1,ρ2,将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得ρ+12ρcos α+11=0. 于是ρ1+ρ2=-12cos α,ρ1ρ2=11.(6分)
|AB|=|ρ1-ρ2|= - = α- .(8分) 由|AB|= 得cosα=,tan α=±所以l的斜率为
2
2
.(9分)
或-
.(10分)
5.(2015课标Ⅰ,23,10分)选修4—4:坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中,直线C1:x=-2,圆C2:(x-1)+(y-2)=1,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求C1,C2的极坐标方程;
(2)若直线C3的极坐标方程为θ=(ρ∈R),设C2与C3的交点为M,N,求△C2MN的面积.
解析 (1)因为x=ρcos θ,y=ρsin θ,所以C1的极坐标方程为ρcos θ=-2,C2的极坐标方程为ρ-2ρcos θ-4ρsin θ+4=0.(5分)
(2)将θ=代入ρ-2ρcos θ-4ρsin θ+4=0,得ρ-3 ρ+4=0,解得ρ1=2 ,ρ2= .故ρ1-ρ2= ,即|MN|= . 由于C2的半径为1,所以△C2MN的面积为.(10分)
π
2
2
2
2
2
π
教师用书专用(6—21)
6.(2014安徽,4,5分)以平面直角坐标系的原点为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,两种坐标系中取相同的长度单位.已 知直线l的参数方程是 (t为参数),圆C的极坐标方程是ρ=4cos θ,则直线l被圆C截得的弦长为( )
- A. B.2 C. D.2 答案 D
7.(2014江西,11(2),5分)(坐标系与参数方程选做题)若以直角坐标系的原点为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,则线段y=1-x(0≤x≤1)的极坐标方程为( ) A.ρ=
,0≤θ
≤ B.ρ=
π
π
,0≤θ
≤
π
π
C.ρ=cos θ+sin θ,0≤θ≤ 答案 A
D.ρ=cos θ+sin θ,0≤θ≤
8.(2013安徽,7,5分)在极坐标系中,圆ρ=2cos θ的垂直于极轴的两条切线方程分别为( ) A.θ=0(ρ∈R)和ρcos θ=2
B.θ=(ρ∈R)和ρcos θ=2
π
C.θ=(ρ∈R)和ρcos θ=1 答案 B
π
D.θ=0(ρ∈R)和ρcos θ=1
9.(2016北京,11,5分)在极坐标系中,直线ρcos θ- ρsin θ-1=0与圆ρ=2cos θ交于A,B两点,则|AB|= . 答案 2
10.(2015湖南,12,5分)在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若曲线C的极坐标方程为ρ=2sin θ,则曲线C的直角坐标方程为 . 答案 x+y-2y=0
11.(2015广东,14,5分)(坐标系与参数方程选做题)在平面直角坐标系xOy中,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标 系.曲线C1的极坐标方程为ρ(cos θ+sin θ)=-2,曲线C2的参数方程为 (t为参数),则C1与C2交点的直角坐标
为 . 答案 (2,-4)
π
12.(2014湖南,11,5分)在平面直角坐标系中,倾斜角为的直线l与曲线C: (α为参数)交于A,B两点,且
|AB|=2,以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,则直线l的极坐标方程是 . 答案 ρcos =1
13.(2014重庆,15,5分)已知直线l的参数方程为 (t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,
曲线C的极坐标方程为ρsinθ-4cos θ=0(ρ≥0,0≤θ<2π),则直线l与曲线C的公共点的极径ρ= . 答案 14.(2014广东,14,5分)(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,曲线C1和C2的方程分别为ρsinθ=cos θ和ρsin θ=1.以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系,则曲线C1和C2交点的直角坐标为 . 答案 (1,1)
15.(2014天津,13,5分)在以O为极点的极坐标系中,圆ρ=4sin θ和直线ρsin θ=a相交于A,B两点.若△AOB是等边三角形,则a的值为 . 答案 3
16.(2013北京,9,5分)在极坐标系中,点 到直线ρsin θ=2的距离等于 . 答案 1
17.(2013湖北,16,5分)(选修4—4:坐标系与参数方程)
π
2
2
2
2
π
在直角坐标系xOy中,椭圆C的参数方程为 (φ为参数,a>b>0),在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位,且以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴)中,直线l与圆O的极坐标方程分别为ρsin =m(m为非零常数)与ρ=b.若直线l
π
经过椭圆C的焦点,且与圆O相切,则椭圆C的离心率为 . 答案
18.(2013广东,14,5分)(坐标系与参数方程选做题)已知曲线C的参数方程为 (t为参数),C在点(1,1)处的切线为l.
以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则l的极坐标方程为 . 答案 ρcos θ+ρsin θ=2
19.(2014辽宁,23,10分)选修4—4:坐标系与参数方程
将圆x+y=1上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的2倍,得曲线C. (1)写出C的参数方程;
(2)设直线l:2x+y-2=0与C的交点为P1,P2,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程.
解析 (1)设(x1,y1)为圆上的点,在已知变换下变为C上点(x,y),依题意,得
由 + =1得x+ =1,即曲线C的方程为x+=1. 2
2
2
2
故C的参数方程为 (t为参数). (2)由 解得 或
-
不妨设P1(1,0),P2(0,2),则线段P1P2的中点坐标为 ,所求直线斜率为k=,于是所求直线方程为y-1= - , 化为极坐标方程,并整理得2ρcos θ-4ρsin θ=-3, 即ρ=
. -
20.(2013课标全国Ⅰ,23,10分)选修4—4:坐标系与参数方程
已知曲线C1的参数方程为 (t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程
为ρ=2sin θ.
(1)把C1的参数方程化为极坐标方程;
(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π).
22
解析 (1)将 消去参数t,化为普通方程(x-4)+(y-5)=25,
即C1:x+y-8x-10y+16=0.
22将 代入x+y-8x-10y+16=0得
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