发布时间 : 星期三 文章最新版高等数学课后习题答案（复旦大学出版社）（李开复编）更新完毕开始阅读
下孰优孰劣．
例29 设函数y?y(x)是由方程x?ef(y)?ey所确定，其中f(x)具有二阶导数且
d2yf?(x)?1．求2dx．
解法1 对方程x?ef(y)?ey两边关于x求导，得
ef(y)?x?ef(y)?f?(y)?y??ey?y?，
1y?ee1x即y?=yf(y)=yy?=，上式两端再对x求导得 e?xe?f?(y)e?e?f(y)x[1?f?(y)]f(y)y??f??(y)?[1?f?(y)]2x2[1?f?(y)]3=
?1?{1?f?(y)?x[?f??(y)?y?]}x2[1?f?(y)]2=
．
lnx?f(y)?y，
解法2 方程x?ef(y)?ey两端取对数得
对其两端关于x求导则有
1?f?(y)?y??y?， x解得y?=
1．以下同解法
x[1?f?(y)]1．
注 利用原方程简化导数表达式是隐函数求导常用的方法之一，在求隐函数的高阶导数时尤其显得重要．
例30 求函数y?(x)x的导数dy．
1?xdx分析 所给函数为幂指函数，无求导公式可套用．求导方法一般有两种：对数求导法和利用恒等式x?elnx（x?0），将幂指函数化为指数函数．
解法1 对数求导法．
对等式y?(xx)两边取自然对数得 1?xlny?x[lnx?ln(1?x)]，
两边对x求导得
111?y??[lnx?ln(1?x)]?x(?)， yx1?x解得
xxx1y??()?(ln?)． 1?x1?x1?x解法2 利用恒等式x?elnx，（x?0）．
xxln()xx1?xy?()?e?ex?[lnx?ln(1?x)]． 1?x于是
y?=ex?[lnx?ln(1?x)]?{x?[lnx?ln(1?x)]}?
=(xxx1)?(ln?)． 1?x1?x1?x注 一般的可导幂指函数y?u(x)v(x)均可采用上述两种方法求导．
例31 求由方程(cosx)y?(siny)x所确定的函数y(x)的导数dy．
dx分析 此题为幂指函数和隐函数求导数的综合问题． 解法1 对方程(cosx)y?(siny)x两边取自然对数得
ylncosx?xlnsiny，
两端对x求导，则有
y??lncosx?y?
?sinxcosy?lnsiny?x??y?， cosxsiny解得
dylnsiny?ytanx?dxlncosx?xcoty．
解法2 原方程可变为eylncosx?exlnsiny，即
ylncosx?xlnsiny．
对上式两边微分：
d(ylncosx)?d(xlnsiny)
即lncosxdy?ydlncosx?lnsinydx?xdlnsiny，
于是有lncosxdy?ysinxdx?lnsinydx?xcosydy，由此解得
cosxsinydylnsiny?ytanx?dxlncosx?xcoty．
例32 求函数y?x?2?(3?x)4(1?x)5的导数．
分析 该题属于求多个函数的乘积或幂的导数，用对数求导法较好．
解法1 两端先取绝对值，再取对数得
1ln|y|?ln(x?2)?4ln|3?x|?5ln|x?1|，
2两边对x求导，得
1145． ?y????y2(x?2)3?xx?1所以y??x?2?(3?x)4145?(??)．
(1?x)52(x?2)3?xx?1x?2?(3?x)4(1?x)5解法2 y?y?=(x?2)12?(3?x)4(1?x)?5
12=
1?1(x?2)2?(3?x)4(1?x)?52?4(x?2)?(3?x)3(1?x)?5
?5(x?2)?(3?x)4(1?x)?6
12=例
x?2?(3?x)4145?(??)．
(1?x)52(x?2)3?xx?1?x?1?t2d2y33 设?，则2?________．
dxy?cost?分析 这是要求由参数方程确定函数的二阶导数，需要先求一阶导数．
dydt解 dy?dxdxdt=?sint，
2td2yddyd?sintd?sintdtsint?tcost?()?()?()?=2dxdxdxdx2tdt2tdx4t3．
错误解答 dydx=
dydtdxdt=?sint2td2y，2dx=(?sint)?=sint?t2cost．
2t2t错解分析 出错的原因在于忽视了dy=?sint是t的函数，tdx2t为参数且是中间变量，而题目的要求是求
ddy()．因此，在求dxdx这类函数的二阶或三阶导数时要注意避免这类错误发生．
例34 设x?f?(t)，y?tf?(t)?f(t)且解 dy=
dxd2ydx2dydtdxdtd2yf??(t)?0．求2dx．
=
d(tf?(t)?f(t))dt=t， d(f?(t))dt=
1ddyddydtddt=1． ()=()?=(t)?=1?f??(t)f??(t)dxdxdtdxdxdtdx