发布时间 : 星期五 文章2020高考数学二轮复习 每日一题规范练(第三周)理更新完毕开始阅读
C5C52
P(X＝0)＝2＝，
C109
C5C55C5C52
P(X＝1)＝2＝，P(x＝2)＝2＝.
C109C109所以X的分布列为
11
02
20
X P E(X)＝0×＋1×＋2×＝1.
[题目5] (本小题满分12分)已知函数f(x)＝(2x－1)e－a(x＋x)，a∈R. 1
(1)当a＜e－时，讨论函数f(x)的单调性；
2
(2)设g(x)＝－ax－a，若对任意的x≤1时，恒有f(x)≥g(x)，求实数a的取值范围． 解：(1)f′(x)＝(2x＋1)e－a(2x＋1)＝(2x＋1)(e－a)． 若a≤0时，e－a＞0，
1?1?当x∈?－∞，－?时，f′(x)＜0；当x∈(－，＋∞)时，f′(x)＞0.
2?2?1???1?所以f(x)在?－∞，－?上是减函数，在?－，＋∞?上是增函数．
2???2?111
若0＜a＜e－时，令f′(x)＝0，得x＝－或x＝ln a＜－，
222
1?1?所以当x∈(－∞，ln a)∪(－，＋∞)时，f′(x)＞0；当x∈?ln a，－?时，f′(x)
2?2?＜0.
1??1??故f(x)在区间(－∞，ln a)和?－，＋∞?上单调递增；在?ln a，－?上单调递减． 2??2??(2)依题意，对任意x≤1，恒有(2x－1)e－a(x－1)≥0.(*) ①当x＝1时，(*)式恒成立，a∈R. ②当x＜1时，
（2x－1）e
不等式转化为a≥，
x－1（2x－1）e
令φ(x)＝(x＜1)，
x－1（2x－3x）e
则φ′(x)＝. 2
（x－1）
当x∈(－∞，0)时，φ′(x)＞0；当x∈(0，1)时，φ′(x)＜0.
5
22
0 2 91 5 92 2 9295929
x2
xxxxxxx所以当x＝0时，φ(x)取极大值φ(0)＝1，此时a≥1. 综合①②知，实数a的取值范围为[1，＋∞)．
[题目6] (本小题满分12分)已知圆F1：(x＋3)＋y＝16，圆心为F1，定点F2(3，→→
0)，P为圆F1上一点，线段PF2上一点K满足PF2＝2KF2，直线PF1上一点Q满足QK·KF2＝0.
(1)求点Q的轨迹E的方程；
(2)已知M，N两点的坐标分别为(0，1)，(0，－1)，点T是直线y＝2上的一个动点，且直线TM，TN分别交(1)中点Q的轨迹E于C，D两点(M，N，C，D四点互不相同)，证明：直线CD恒过一定点，并求出该定点坐标．
→
→
(1)解：因为PF2＝2KF2，所以K是线段PF2的中点． →→
又QK·KF2＝0，所以QK为线段PF2的中垂线， 则|QP|＝|QF2|.
因为|F1P|＝|F1Q|＋|QP|＝|F1Q|＋|QF2|＝4，
所以由椭圆的定义，知Q的轨迹是以F1、F2为焦点，长轴长为4的椭圆． 则a＝2，c＝3，所以b＝1. 故点Q的轨迹C的方程为＋y＝1.
4
(2)证明：依题意，设直线CD的方程为y＝mx＋n， 代入椭圆方程x＋4y＝4，
化简得(1＋4m)x＋8mnx＋4n－4＝0， 设C(x1，y1)，D(x2，y2)， 8mn则x1＋x2＝－2，①
1＋4m4n－4
x1·x2＝2.②
1＋4m因为直线TM：y＝直线TN：y＝
2
2
2
2
2
2
2
2
2
→→
x2
2
y1－1
x＋1； x1
y2＋1
x－1， x2
由题知TM，TN的交点T的纵坐标为2， 所以
3x2x1
＝. y2＋1y1－1
则3x2(y1－1)＝x1(y2＋1)，即3x2(mx1＋n－1)＝x1(mx2＋n＋1)， 整理，得2mx1x2＝(n＋1)x1－3(n－1)x2，③
6
2m（4n－4）?－8mn2－x2?－3(n－1)x，
将①②代入③得＝(n＋1)·?1＋4m?221＋4m??化简得(2n－1)[4m(n＋1)＋x2(1＋4m)]＝0， 当m，x2变化时，上式恒成立．
1?1?故2n－1＝0，即n＝，所以直线CD恒过定点?0，?. 2?2?
[题目7] 1.(本小题满分10分)[选修4-4：极坐标与参数方程] 已知曲线C1的参数方程为?
2
2
?x＝1＋2cos t，?y＝2sin t(t为参数)，以射线Ox为极轴建立极坐标
系，曲线C2的极坐标方程为2ρcos θ－ρsin θ－4＝0.
(1)将曲线C1的参数方程化为普通方程，将曲线C2的极坐标方程化为直角坐标方程，并分别指出是何种曲线；
(2)曲线C1，C2是否有两个不同的公共点？若有，求出两公共点间的距离；若没有，请说明理由．
解：(1)由?
?x＝1＋2cos t，?y＝2sin t，
消去参数t得(x－1)＋y＝2.
2
2
22
所以曲线C1的普通方程为(x－1)＋y＝2，曲线C1是一个圆． 因为ρcos θ＝x，ρsin θ＝y，
所以2ρcos θ－ρsin θ－4＝0的直角坐标方程为2x－y－4＝0， 因此曲线C2表示一条直线．
(2)圆C1的圆心为(1，0)，半径r＝2， 设圆心(1，0)到直线2x－y－4＝0的距离是d，
|2－4|25
则d＝＝＜r＝2，所以曲线C1与曲线C2相交于两个不同的点A，B.
5523022
则|AB|＝2 r－d＝，
5230
所以两公共点间的距离为.
5
2．(本小题满分10分)[选修4-5：不等式选讲] 已知函数f(x)＝|a－4x|＋|2a＋x|. (1)若a＝1，解不等式f(x)≥3.
?1?(2)求证：f(x)＋f?－?≥10.
?x?
(1)解：若a＝1，则f(x)＝|a－4x|＋|2a＋x|＝ |1－4x|＋|2＋x|，
7
所以不等式f(x)≥3可化为|1－4x|＋|2＋x|≥3，
??x≤－2，?－2＜x≤，?
4所以?或?
??1－4x－2－x≥3，?
1??x＞，或?4 ??4x－1＋2＋x≥3.
2解得x≤－2或－2＜x≤0或x≥，
5
1
?1－4x＋2＋x≥3，
??2?
综上，所以不等式f(x)≥3的解集为?x?x≤0或x≥?.
5???
1?4??1??4?(2)证明：f(x)＋f?－?＝|a－4x|＋|2a＋x|＋|a＋|＋?2a－?＝(|a－4x|＋?a＋?)
?x?
x?x??x?
1?4?11???1?＋(|2a＋x|＋?2a－?)≥?a－4x－a－?＋|2a＋x－2a＋|＝5?x＋?＝5(|x|＋)≥
x?x?x|x|???x?1
10(当且仅当|x|＝时，等号成立)．
|x|
?1?故f(x)＋f?－?≥10.
?x?
8