发布时间 : 星期一 文章复变函数与积分变换测验题2参考答案更新完毕开始阅读
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第二章 解析函数
一、选择题:
1.B 可参照填空题第四小题的处理方法。
2.B 注: 函数f(z)在点z可导,f(z)在点z不一定解析;反之,f(z)在点z不解析,则函数f(z)在点z可导;函数f(z)在一
区域内处处可导等价于处处解析
3.D 注: A 三角函数的模可能大于1或无界;
B 若z0是函数f(z)的奇点,则f(z)在点z0不一定不可导
C 解析的条件; u,v在区域D内可微,u,v在区域D内满足柯西-黎曼方程, 4. C 由柯西黎曼方程可得。
5.B 第二节例2.3的结论: 解析函数若f?(z)在某一区域内处处为零,则函数在此区域内为常数。
6.C 注:选项A,B,D中函数f(z)只是有定义,并为要求解析。反例:f(z)?cosx?isinx 选项C 设解析函数f(z)?u(x,y)?iv(x,y) 则 解析函数 f(z)?u(x,y)?iv(x,y)
?u?0 ?x?v?0 两式相减得到解析函数h(z)?2v(x,y) 满足柯西黎曼方程 ,因此 ?x?u?v?i?0 所以,函数f(z)?u(x,y)?iv(x,y)的导数f'(z)??x?x两式相加得到解析函数g(z)?2u(x,y) 满足柯西黎曼方程 ,因此
根据:第二节例2.3的结论: 解析函数若f?(z)在某一区域内处处为零,则函数在此区域内为常数。
7.A 导数公式 若f(z)?u(x,y)?iv(x,y),则导数f'(z)??u?v?i ?x?x8.A 注: 本题 函数是
ez,不是 e 。
zez?ex?iy?ex(cos(?y)?isin(?y))
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判定时,按照判定复变函数可导解析的方法进行处理。 9.C
二、填空题
1.设f(0)?1,f?(0)?1?i,则limz?0f(z)?1? 1+i z2z2.设f(z)?z2sinz?iez,则f?(z)?2zsinz?zcosz?ie 3.设f(z)?x3?y3?ix2y2,则f?(?332727?i ?i)? 2244注:第二,三题 ,关于复变函数导数的计算方法:
若函数f(z)利用z表示,则求导规则与高数中形式一致;若f(z)利用x,y表示,则利用公式
若f(z)?u(x,y)?iv(x,y),则导数f'(z)?得到具体导数值。
?u?v?i 确定所要计算点的实部x,虚部y,?x?x15z?(1?i)z2,则方程f?(z)?0的所有根为 z?0,32(1?i) 5152注: f(z)?z?(1?i)z 是利用Z表示的,所以它的导数计算规则与“高数”中情形相同
55.设f(z)?f?(z)?z4?2(1?i)z?0
6.方程1?e?z?0的全部解为 2k?i(k?0,?1,?2,?) ;sinz?0的全
(k?0,?1,?2,?)
部解为 k?解: 1?e?z?0 即e?z?1?e0 根据复指数函数的周期性 :若ez1?ez2,则z1?z2?2k?i
?z?0?2k?i,得结论。
7.函数
z?2?i的奇点 ?1,i,?i
(z?1)3(z2?1)注:使分母为零的点。 三、计算题
函数f(z)?zIm(z)?Re(z)何处可导?何处解析?
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考察知识点:本题考查函数可导,解析的判定。具体的计算步骤:
2.判定函数f(z)何处可导,何处解析?a.确定函数f(z)的实部u(x,y),虚部v(x,y);?u?u?v?vb.计算偏导数,,,判定它们在哪些点处连续??x?y?x?y
?u?u?v?vc.判定偏导数,,,在哪些点处满足?x?y?x?y柯西?黎曼方程?d.判定b,c中的共同点为f(z)的可导点, 若可导的点构成一个区域,则f(z)在此区域内也解析; 若可导的点只是一个点或不构成区域,则f(z)处处不解析。
解: 令z?x?iy带入函数,得 f(z)?zIm(z)?Re(z)?(x?iy)y?x?xy?x?iy2
2实部u(x,y)?xy?x,虚部v(x,y)?y
?u?u?y?1 ?x ?x?y?v?v?0 ?2y ?x?y这些偏导数在整个复平面上处处连续。
??u?v??x??y?y?1?2y?对于柯西-黎曼方程? 即? ,所以,柯西-黎曼方程在点x?0,
?x??0??u???v??x??yy??1即 z??i处成立。
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因此,函数f(z)在点z??i可导。 所以,函数f(z)处处不解析。
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