发布时间 : 星期四 文章《立体几何》变式题更新完毕开始阅读
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七、《立体几何》变式题
1．（人教A版，必修2．P17．第4题）
图1是一个几何体的三视图，想象它的几何结构特征，并说出它的名称．
正视图 侧视图 俯视图
变式题1．如图1－1是一个几何体的三视图（单位：cm） （Ⅰ）画出这个几何体的直观图（不要求写画法）； （Ⅱ）求这个几何体的表面积及体积；
（Ⅲ）设异面直线AA?与BC?所成的角为?，求cos?．
图1
AA?A1B3正视图 B?C2侧视图 BCAB11C?A?3俯视图 B? 图1－1
解：（Ⅰ）这个几何体的直观图如图1－2所示． （Ⅱ）这个几何体是直三棱柱．
由于底面?ABC的高为1，所以AB?12?12?2． 故所求全面积S?2S?ABC?SBB?C?C?2SABB?A?
AA?C2BC?3图1－2
B?1?2??2?1?3?2?2?3?2?8?62(cm2)．
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1?2?1?3?3(cm3) 2（Ⅲ）因为AA?//BB?，所以AA?与BC?所成的角是?B?BC?．
这个几何体的体积V?S?ABC?BB?? 在Rt?BB?C?中，BC?? 故cos??BB?2?B?C?2?32?22?13，
BB?33??13． BC?13132．（人教A版，必修2，P20．例3）
如图2，已知几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图．
PP??OO正视图 ?O?O侧视图 ?俯视图
变式题2－1．如图2－1．已知几何体的三视图（单位：cm）． （Ⅰ）画出它的直观图（不要求写画法）； （Ⅱ）求这个几何体的表面积和体积．
图2
22P2P?O?22?O22?O?2?O侧视图 正视图 ?俯视图
图2－1
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解（Ⅰ）这个几何体的直观图如图2－2所示．
（Ⅱ）这个几何体是一个简单组合体，它的下部是一个圆柱（底面半径为1cm，高为2cm），它的上部是一个圆锥（底面半径为1cm，母线长为2cm，高为3cm）． 所以所求表面积S???1?2??1?2???1?2?7?(cm2)，
2132所求体积V???1?2????1?3?2???(cm3)．
332P变式题2－2．如图2－3，已知几何体的三视图（单位：cm）．
（Ⅰ）画出这个几何体的直观图（不要求写画法）； （Ⅱ）求这个几何体的表面积及体积；
?O?PD所成角为?，求cos?．（理科考生） （Ⅲ）设异面直线AQ1、
P?O图2－2 QP22A12AB1D122侧视图 A12正视图 BDAD1P112俯视图 C1QA1
解：（Ⅰ）这个几何体的直观图如图2－4所示．
B1 图2－3
（Ⅱ）这个几何体可看成是由正方体AC1及直三棱柱BC11Q?A1D1P的组合体． 由PA1D1?AD?2， 1?PD1?2，A可得PA1?PD1． 故所求几何体的全面积
PQD1C1B1CEBA11S?5?2?2?2?2?2??22?2?32?22?42(cm2)
DA图2－4
所求几何体的体积
1V?2??23??2?2?10(cm)
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（Ⅲ）由PQ//CD，且PQ?CD，可知PD//QC，
PD所成的角（或其补角）． 故?AQC为异面直线AQ1、1?AB?B1Q?2?2?6，AC由题设知AQ?3?2?23， 11取BC中点E，则QE?BC，且QE?3，
2211222QC2?QE2?EC2?32?12?10．
22AQ?QC2?AC11由余弦定理，得cos??cos?AQC ?12AQ1?QC ?6?10?1215． ?1526?103．（北师大版．必修2．P31．第4题）
如图3，已知E，F分别是正方体ABCD?A1BC11D1的棱AA1和棱CC1上的点，且
AE?C1F，求证：四边形EBFD1是平行四边形
D1A1EAD图3
B1C1FCB
变式题：如图3－1．已知E、F分别是正方体ABCD?A1BC11D1的棱AA1和棱CC1的中点．
（Ⅰ）试判断四边形EBFD1的形状； （Ⅱ）求证：平面EBFD1?平面BB1D1．
解（Ⅰ）如图3－2，取BB1的中点M，连结A1M、MF． ∵M、F分别是BB1和CC1的中点， ∴MF//?BC11， D1C1B1FA1EAD图3－2
CBD1A1B1C1F金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com D第 4 页 共 11 页 ECBA图3－1