发布时间 : 星期二 文章求多元函数极限的方法更新完毕开始阅读
xy2例2求lim2
x?0x?y4y?0若仿照例1
中所有用过的错误解法，有x??cos?;y?sin?，且
xy2?cos???2sin2??cos?sin2?lim2?lim2?lim x?0x?y4??0?cos2???4sin4???0cos2???2sin2?y?0不难讨论不论上式右端
?为任何值，只要??0时，就有
?cos??sin2?xy2lim2=lim=0 x?0x?y4??0cos2???2sin4?y?0xy22x?ky但实际上lim2是不存在的，这只要取动点沿曲线趋向于点（0，0）P(x,y)x?0x?y4y?0xy2xy2ky4k时则有lim2 ?lim?lim?24x?0x?y4y??k2y4?y4x?ky2x?yk2?1y?0y?0xy2由于不同的k值对应着不同的极限值，即得证lim2是不存在的。
x?0x?y4y?0xy22422例3求lim2本题的正确解法，是由x?y?2xy 4x?0x?yy?0x2?y2x2?y2111??(?) 所以有0?4x?y42x2y22y2x2xy2?0而此题如果用例1所提出过的错误做法虽然也有由夹逼定理便有lim2x?0x?y4y?0x2?y2?21112?????并由此得出 44444222221x?y?(cos??sin?)?(1?sin?cos?)??2x2?y2?2lim4?lim4?0其结果虽然也是对的，但其理论根据却是错误x?0x?y4????(cos4??sin4?)y?0的。
Ⅱ第二种错误是引用了“有限个无穷大之和仍为无穷大”的错误结论。 例4limx?0y?0xy1?lim?0 x?011x?y?y?0yx 9
这种解法很明显是错误的，因为lim1111??,lim??但lim(?)并不一定是无穷大，这
x?0xx?0xy?0yyy?0道理虽然很明显，但在做题时却常被疏忽而导致得出错误的结论。
事实上，本例所给的极限是不存在的，这只有注意，若动点P(x,y)沿直线y??x趋向于点（0，0）时，原式均无意义就行了，就是避开这条使函数无意义的直线也就不行的，这只要取动点P(x,y)沿曲线y?kx?x趋向于点（0，0）时，就有
2xyxyx(kx2?x)1lim?lim??=lim，k可以取关于零的任何值。 2x?0x?yx?0x?yx?0kxk2y?0y?kx?x即得limx?0y?0xy是不存在。 x?yⅢ第三种错误是由于忽视开方时应去算数跟，而造成的错误。
limx?0y?0xyx?y22?limx?0y?0111()2?()2xy1x?yx2y222=0
此题的解法是错误的，因为将分子及分母同除xy，它的恒等变形详细过程如下：
xyx?y22=1x?yxy22??111?x2y2
x2?y2这个恒等变形只有xy>0时成立，而当xy<0时?xy本例的正确解法应该是由x?y?2xy有
22x2?y2 22xy0?xyx2?y2??x2?y22x2?y2x2?y2 2可见不论动点P(x,y)沿什么曲线，趋向于点（0，0）时，总有此不等式成立。由夹逼定理知limx?0y?0xyx?y22=0忽视算数跟所造成的错误，在求一元函数极限时也常发生。
12x?1x?lim?1 例9limx??x?1x??11?x21? 10
例10lim(x?1?x)?limx??x??2xx2?1?x?limx??11? 211?2?1x这两个例子的错误均是由于忽视了x?x2 x1?12x?1x?lim例9的正确解法是lim可见当x???时
2x2?1?1当x??x?1x??x(1?1)x?1xx2?1x2x???时x?1??1所以?1x?1是不存在的。 例10的正确解法是lim(x2?1?x)?limxx??x??x2?1?x?lim1x??
x1?1x2?x可见x???时x(x2?1?x)?1?1 1?12x2?1x???时x(x2?1?x)?11???
?1?x2?1所以lim(2x??x?1?x)是不存在的。
【1】王伟珠.常用求极限方法浅析【J】中国科教创新导刊，2007（23） 【2】姜伟.对求极限方法的探究【J】中国科教创新导刊2008（28）
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