发布时间 : 星期一 文章高中数学第一章1.1导数的概念1.1.2瞬时变化率导数教学案苏教版选修更新完毕开始阅读
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1．一质点运动的方程为S＝5－3t2，若该质点在时间段[1,1＋Δt]内相应的平均速度为－3Δt－6，则该质点在t＝1时的瞬时速度为________．
解析：∵当Δt无限趋近于0时，－3Δt－6无限趋近于常数－6，∴该质点在t＝1时的瞬时速度为－6.
答案：－6
2．函数f(x)＝1－3x在x＝2处的导数为________． Δy解析：Δy＝f(2＋Δx)－f(2)＝－3Δx，＝－3，
ΔxΔy则Δx趋于0时，＝－3.
Δx故f(x)在x＝2处的导数为－3. 答案：－3
1
3．已知函数y＝f(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线方程是y＝x＋2，则f(1)＋f′(1)＝
2________.
115
解析：由题意知f′(1)＝，f(1)＝＋2＝，
22251
所以f(1)＋f′(1)＝＋＝3.
22答案：3
3?1?
4．曲线f(x)＝x2－2在点?1，－?处的切线的倾斜角为________．
2?2?
解析：∵1
Δx2
f1＋Δx－f1
＝
Δx2
1
1＋Δx2
2
?1?－2－?－2?
?2?
Δx
＋Δx＝
Δx1
＝Δx＋1. 2
f1＋Δx－f1
∴当Δx无限趋近于0时，无限趋近于常数1，即切线的斜率为1.
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π
∴切线的倾斜角为.
4π答案：
4
5．已知曲线y＝2ax2＋1过点P(a，3)，则该曲线在P点处的切线方程为________． 解析：∵y＝2ax2＋1过点P(a，3)， ∴3＝2a2＋1，即a2＝1.
又∵a≥0，∴a＝1，即y＝2x2＋1. ∴P(1,3)．
Δyf1＋Δx－f121＋Δx又＝＝ΔxΔx2
＋1－2×12－1
＝4＋2Δx.
ΔxΔy∴当Δx无限趋近于0时，无限趋近于常数4，
Δx∴f′(1)＝4，即切线的斜率为4.
由点斜式可得切线方程为y－3＝4(x－1)， 即4x－y－1＝0. 答案：4x－y－1＝0 二、 解答题
1
6．已知质点运动方程是S(t)＝gt2＋2t－1(g是重力加速度，常量)，求质点在t＝4 s时的
2瞬时速度(其中s的单位是m，t的单位是s)．
ΔSS4＋Δt－S4解：＝
ΔtΔt＝
?1
?2g4＋Δt?
1
gΔt2
2
??1?
＋24＋Δt－1?－?g·42＋2×4－1?
??2?
Δt2
＋4g·Δt＋2·ΔtΔt
＝
1
＝gΔt＋4g＋2. 2
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ΔS∵当Δt→0时，→4g＋2，
Δt∴S′(4)＝4g＋2，即v(4)＝4g＋2，
所以，质点在t＝4 s时的瞬时速度为(4g＋2) m/s.
7．求过点P(－1,2)且与曲线y＝3x2－4x＋2在点M(1,1)处的切线平行的直线方程． 31＋Δx解：∵2Δx＋3Δx＝
Δx22
－41＋Δx＋2－
Δx3×12－4×1＋2
＝2＋3·Δx，
∴当Δx→0时，2＋3·Δx→2，∴f′(1)＝2， 所以直线的斜率为2，
所以直线方程为y－2＝2(x＋1)， 即2x－y＋4＝0.
8．已知直线l：y＝4x＋a和曲线C：y＝x3－2x2＋3相切．求a的值及切点的坐标． 解：设直线l与曲线C相切于点P(x0，y0)， Δyx0＋Δx∵＝Δx3
2
－2x0＋Δx2＋3－x30－2x0＋3
Δx＝(Δx)2＋(3x0－2)Δx＋3x20－4x0. Δy∴当Δx→0时，→3x20－4x0， Δx2即f′(x0)＝3x0－4x0，
由导数的几何意义，得3x20－4x0＝4， 2
解得x0＝－或x0＝2.
3
?249?
∴切点的坐标为?－，?或(2,3)，
?327??249?
当切点为?－，?时，
?327?
49121?2?
有＝4×?－?＋a，∴a＝， 2727?3?
当切点为(2,3)时，有3＝4×2＋a，∴a＝－5，
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121?249?当a＝时，切点为?－，?；
27?327?
a＝－5时，切点为(2,3)．
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