发布时间 : 星期三 文章江西省六校(樟树中学,丰城九中,万载中学,宜春一中,高安二中,宜丰一中)2019届高三联考数学(理科)试题更新完毕开始阅读
20．(本小题满分12分)
1x2y2已知椭圆C1:2?2?1(a?b?0)的一个焦点为F，且点M(3,)在椭圆C1上，(?3,0)1ab2动点N满足(OF1?NF1)?(MN?MO)?1，动点N的轨迹记为C2. (Ⅰ)求曲线C1与C2的方程；
(Ⅱ) 过椭圆C1上的动点P作PT与曲线C2相切点T，使得椭圆右焦点F2与切点T分别位
于OP的两侧，求四边形OF2PT面积的最大值．
21．(本小题满分12分) 设函数f(x)?(Ⅰ)讨论函数f(x)的单调性；
(Ⅱ)若f(x)?b有两个不相等的实数根x1,x2，求证:f'(12x?(a?1)x?alnx,记f(x)的导函数为f?(x). 2x1?x2)?0. 2
请考生在第22、23题中任选一题作答，注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号对应的方框涂黑。
22.(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xoy中，已知点A(?2,?22)，以原点为极点，x轴的正半轴为极
2轴建立坐标系，曲线E的极坐标方程为???cos??2acos?(a?0), 过点A作与
直线???4(??R)的平行线l，分别交曲线E于B,C两点.
(Ⅰ)写出曲线E和直线 的直角坐标方程； (Ⅱ)若AB,BC,AC成等比数列，求a的值.
23.(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲 已知函数f(x)＝|x?t|+|2x?3|，（t?3） 2(Ⅰ)当t?2时，求不等式f(x)≤x?1的解集；
(Ⅱ)若对任意的 x?R，都存在符合条件3m?4n?5的实数m,n，使得f(x)?m?n 成立，求实数t的取值范围．
22
答案及评分标准
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 6 7 D B 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 题号 答案 13.
1 A 2 C 3 D 4 A 5 C 8 C 9 A 10 D 11 C 12 B 5 14.
2?315.
n 16.10
2n?1
三、解答题：
17.(本小题满分12分)
→→
[解] (Ⅰ) 因为m??c,cos(A?B)?与n?(3a?b,3cosA?cosB)方向相同，即共线， 故c(3cosA?cosB)?(3a?b)cos(A?B)??(3a?b)cosC…………2分
由正弦定理得sin C cos B－3sin C cos A＝3sin A cos C－sin B cos C ……3分 ∴sin C cos B＋sin B cos C＝3(sin C cos A＋sin A cos C)． ∴sin(B＋C)＝3sin(A＋C)．∴sin A＝3sin B， ∴
asinA??3………………………………………………………6分 bsinBa2?b2?809b2?b2?8010b2?80?(Ⅱ)由余弦定理得cos C＝＝<0， 22ab2ab6b∴0?b?22. ①………………………………………………………9分 ∵b＋a>c，即4b?45，b?5， ②
由①②得b的范围是(5，22)………………………… 12分
18.(本小题满分12分)
(Ⅰ)法一：∵ 在△PBC中，E、F分别为BC、PB的中点，
∴EF∥PC.又EF?平面PAC，而PC??平面PAC， ∴EF∥平面PAC，……………………………4分 则F与E到平面PAC的距离相等， 依题意得AC＝23，且S?PAC?1PA?AC＝3， 2S?ACE?11133S?ACB?S矩形ABCD?AB?AD＝ 2444设F到平面PAC距离为d，因为PA⊥平面ABCD， 则由VE?PAC?VP?ACE，得S?PAC?d?1313S?ACE?PA，从而得d? 34即点F到平面PAC的距离为
3………………………………………………7分 4法二：（坐标向量法）依题知AD、AB、AP两两垂直，故可分别以AD、AB、AP 为x、y、z轴建系，则A(0,0,0)，B(0,3,0)，C(3,3,0)，D(3,0,0)，
P(0,0,3)，F(0,33,) 22设平面PAC的法向量为v?(x,y,z)，
??v?AP?3z?0则由?
??v?AC?3x?3y?0取x?1得v?(1,?3,0)……………………3分
3→333∵E是BC的中点，则E(,3,0) ∴EF?(?,?,)
2222∴v?EF?1?(?)?(?3)?(?32→→33)?0??0，则v⊥EF， 22∴直线EF∥平面PAC，………………5分
33→
,) 而AF?(0,22∴点F到平面PAC的距离d?v?AFv?3??3212?(?3)2?3 ……………………7分4(Ⅱ)依题知AD、AB、AP两两垂直，故可分别以AD、AB、AP为x、y、z轴建系， 则A(0,0,0)，B(0,3,0)，C(3,3,0)，D(3,0,0)，
333P(0,0,3)，E(,3,0)，F(0,,)，
222
→→
∵点E在线段BC上，设BE＝λBC，其中0???1， 则E(3?,3,0)，则PE?(3?,3,?3)， 而PD?(3,0,?3)
→
设平面PDE的法向量为m＝(p，q，r)
??m?PD?3p?3r?0则由?，
??m?PE?3?p?3q?3r?0→
取p?1得m＝1,3?3?,3……………………………………10分 ??→
又AP＝(0,0,3)，由PA与平面PDE所成角为60°，得sin 60°＝m?AP3＝， 2m?AP即33?1?(3?3?)2?3?3，解得??1． 2故在线段BC上存在点E，使直线PA与平面PDE所成角的大小为60°， 且点E的位置与点B重合………………………………12分
19.(本小题满分12分)
(Ⅰ) 月收入位于区间[7,8]（千元）的频率为
1－（0.04＋0.10＋0.16＋0.24＋0.18＋0.06）＝0.22 ………………1分
同一组数据用该区间的中点值作代表，则参与调查的这500位农民的该月平均收入为
R＝3.5×0.04＋4.5×0.10＋5.5×0.16＋6.5×0.24＋7.5×0.22＋8.5×0.18＋9.5×0.06
＝6.78（千元） …………………………………………3分 (Ⅱ) 由题意可知
?的可能值分别为0、1、2、3、4，
0514C4C6C4C615 P(??1)? P(??0)???554221C10C102332C4C610C4C65 P(??3)? P(??2)???552121C10C1041C4C1 …………………………………………7分 P(??4)?56?42C10则?的分布列如下： ? p
∴期望?(?)?0 1 2 3 4 1 425 2110 215 211 4251051?1??2??3??4?2 ………………………8分 21212142(Ⅲ)由(1)知样本平均数R?6.78，样本方差s2?2.32，可得??6.78,??1.52， 即该地区20~60岁农民该月收入?服从正态分布N(6.78,1.52)
2?P(5.26???8.30)?P(6.78?1.52???6.78?1.52)?0.6827,
即P(??5.26)?1?1?1?P(5.26???8.30)??0.8414. 2