发布时间 : 星期日 文章2015-2016学年高中数学 第二章 平面向量本章小结 新人教A版必修4更新完毕开始阅读
【金版学案】2015-2016学年高中数学 第二章 平面向量本章小结
新人教A版必修4
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用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的基本功，除利用向量的加减法、数乘向量外，还应充分利用平面几何的一些定理．
?例题分析
→2→
例1 △ABC中(如图所示)，AD＝AB，DE∥BC交AC于E，AM是BC边上的中线交DE
3→→→→→→→→
于N，设AB＝a，AC＝b，用a，b分别表示向量AE、BC、DE、DN、AM、AN.
1
分析：用向量的加减法和数乘向量运算解答本题．本题是向量加减法和数乘向量的混合运算，在进行计算时要充分利用DE∥BC?△ADE∽△ABC，△ADN∽△ABM.
解析：
DE∥BC?
?
→2→2?AE＝AC＝b， ?2→→33AD＝AB?3?
→
BC＝AC－AB＝b－a，
→2→2
由△ADE∽△ABC，得DE＝BC＝(b－a)，
33由AM是△ABC中线，DE∥BC， →1→1
∴DN＝DE＝(b－a)，
23
→→
→
AM＝
1→→1
(a＋b)， ＝
2AB＋AC2
()
→2→
由△ADN∽△ABM，AD＝AB，得
3→
AN＝AM＝
2→1
(a＋b). 33
?跟踪训练
→→→→→
1.在△ABC中，AB＝c，AC＝b.若点D满足BD＝2DC，则AD＝(A) 2152A.b＋c B.c－b 33332112C.b－c D.b＋c 3333
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有关向量平行或共线的问题，常用共线向量定理：a∥b?a＝λb(b≠0)?x1y2－x2y1＝
2
0.
?例题分析
例2 已知a＝(2，－3)，b＝(－1，2)，若ka＋2b与2a－b平行，求实数k的值． 解析：∵ka＋2b＝k(2，－3)＋2(－1，2) ＝(2k－2，－3k＋4)，
2a－b＝2(2，－3)－(－1，2)＝(5，－8)， 又ka＋2b与2a－b平行，
∴(2k－2)(－8)－(－3k＋4)35＝0. 解得k＝－4.
点评：有关向量的共线问题，可以运用“向量b与非零向量a共线?存在唯一实数λ使b＝λa”，也可以运用向量共线的坐标表达式“a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)共线?x1y2－
x2y1＝0”．
?跟踪训练
2．已知向量a＝(1，1)，b＝(2，x)，若a＋b与4b－2a平行，则实数x的值是(D) A．－2 B．0 C．1 D．2
解析：方法一 因为a＝(1，1)，b＝(2，x)，所以a＋b＝(3，x＋1)，4b－2a＝
(6，4x－2)，由于a＋b与4b－2a平行，得6(x＋1)－3(4x－2)＝0，解得x＝2.
方法二 因为a＋b与4b－2a平行，则存在常数λ，使a＋b＝λ(4b－2a)，即(2λ＋1)
a＝(4λ－1)b，根据向量共线的条件知，向量a与b共线，故x＝2.
3．已知向量a＝(1，k)，b＝(9，k－6)．若a//b，则实数k＝________． 3答案：－
4
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1．有关向量的垂直问题，常用数量积的运算性质：a⊥b?a2b＝0?x1x2＋y1y2＝0. 2．求夹角问题，用夹角公式：cos θ ＝ 的夹角)．
?例题分析
例3 已知a，b都是非零向量，且a＋3b与7a－5b垂直，a－4b与7a－2b垂直，求a与b的夹角．
a2bx1x2＋y1y2
＝ 22(θ为a，b2
|a||b|x1＋y12x22＋y2
3
分析：将已知与所求分别进行语言转化，从中找到联系．由已知垂直得到两式，而由所求夹角可知须有数量积及模的乘积，从而考虑从已知推出的关系．
解析：由已知得(a＋3b)2(7a－5b)＝0，(a－4b)2(7a－2b)＝0，即7a＋16a2b－15b＝0，7a－30a2b＋8b＝0，
两式相减得2a2b＝b，代入其中一式，得|a|＝|b|.
2
2
2
2
2
∴cos θ＝
a2b＝
|a||b|
12b2
|b|
1＝， 22
又θ∈[0°，180°]，所以θ＝60°.
点评： 求两向量的夹角，要通过求得a2b及|a|，|b|或它们的关系式．注意两向量的夹角的取值范围是[0°，180°].
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4．已知a＝(－3，2)，b＝(－1，0)，向量λa＋b与a－2b垂直，则实数λ的值为(A)
1111A．－ B. C．－ D.
7766
解析：λa＋b＝(－3λ－1，2λ)，a－2b＝(－1，2)，∵(λa＋b)⊥(a－2b)，∴(－3λ1
－1，2λ)2(－1，2)＝0，即3λ＋1＋4λ＝0，解得λ＝－，故选A.
7
5．已知|a|＝1，|b|＝6，a2(b－a)＝2，则向量a与向量b的夹角是(C) A.
ππππ B. C. D. 6432
122解析：由条件得a2b－a＝2，∴a2b＝2＋a＝3?|a||b|cos θ＝3?cos θ＝?θ
2π＝. 3
2
6．已知e1，e2 是夹角为π 的两个单位向量，a＝e1－2e2，b＝ke1＋e2, 若a2b＝0 ，
3则k的值为________．
5答案：
4
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4