发布时间 : 星期六 文章北师大版高中数学必修2同步检测题二十二圆的一般方程更新完毕开始阅读
课时跟踪检测（二十二） 圆的一般方程
一、基本能力达标
1．圆的方程为(x－1)(x＋2)＋(y－2)(y＋4)＝0，则圆心坐标为( ) A．(1，－1) C．(－1,2)
?1?B．?，－1? ?2??1?D．?－，－1? ?2?
45?1?2?1?2
解析：选D 将圆的方程化为标准方程，得?x＋?＋(y＋1)＝，所以圆心为?－，－1?.
4?2??2?2．已知圆的方程为x＋y＋kx＋2y＋k＝0，那么当圆面积最大时，圆心坐标为( ) A．(1,1) C．(－1,0)
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B．(1，－1) D．(0，－1)
解析：选D 由x＋y＋kx＋2y＋k＝0得
?x＋k?2＋(y＋1)2＋3k2－1＝0，
?2?4??
32?k?22
即?x＋?＋(y＋1)＝1－k.
4?2?
322
若表示圆，则r＝1－k>0，
4
∴当k＝0，r最大为1，此时圆的面积最大．此时圆心为(0，－1)．
3．如果过A(2,1)的直线l将圆x＋y－2x－4y＝0平分，则l的方程为( ) A．x＋y－3＝0 C．x－y－1＝0
B．x＋2y－4＝0 D．x－2y＝0
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解析：选A 由题意知直线l过圆心(1,2)，由两点式可得直线方程为x＋y－3＝0. 4．若圆x＋y－6x－8y＝0的圆心到直线x－y＋a＝0的距离为A．－2或2 C．2或0
13B．或 22D．－2或0
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，则a的值为( ) 2
|3－4＋a|2
解析：选C 由圆的方程得圆心坐标为(3,4)．再由点到直线的距离公式得＝，22解得a＝2或a＝0.
5．若圆x＋y＝4和圆x＋y＋4x－4y＋4＝0关于直线l对称，那么l的方程是( ) A．x＋y＝0 C．x－y－2＝0
B．x＋y－2＝0 D．x－y＋2＝0
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解析：选D l为两圆圆心的垂直平分线，两圆圆心为(0,0)和(－2,2)，其中点为(－1,1)，
垂直平分线斜率为1，方程为y－1＝x＋1即x－y＋2＝0.
6．若方程x＋y＋Dx＋Ey＋F＝0表示以(2，－4)为圆心，4为半径的圆，则F＝________. ?－4?＋8－4F解析：由题意，知D＝－4，E＝8，r＝＝4，∴F＝4.
2答案：4
7．若使圆x＋y＋2x＋ay－a－12＝0(a为实数)的面积最小，则a＝________. 111222解析：圆的半径r＝ 4＋a－4?－a－12?＝ a＋4a＋52＝?a＋2?＋48，∴当a＝
222－2时，r最小，从而圆面积最小．
答案：－2
8．若圆x＋y＋2x－6y＋1＝0上有相异两点P，Q关于直线kx＋2y－4＝0对称，则直线
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PQ的斜率kPQ＝________.
解析：由题意知，圆心(－1,3)在直线kx＋2y－4＝0上，所以k＝2，即直线kx＋2y－4＝0的斜率为－＝－1，所以kPQ＝1.
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答案：1
9．已知圆心为C的圆经过点A(1,0)，B(2,1)，且圆心C在y轴上，求此圆的一般方程． 解：法一：设圆心C的坐标为(0，b)，由 |CA|＝|CB|得 1＋b＝2＋?b－1?， 解得b＝2.
∴C点坐标为(0,2)． ∴圆C的半径r＝|CA|＝5. ∴圆C的方程为x＋(y－2)＝5， 即x＋y－4y－1＝0.
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k?31?法二：AB的中点为?，?.中垂线的斜率k＝－1，
?22?
1?3?∴AB的中垂线的方程为y－＝－?x－?， 2?2?令x＝0，得y＝2，即圆心为(0,2)． ∴圆C的半径r＝|CA|＝ 5，
∴圆的方程：x＋(y－2)＝5，即x＋y－4y－1＝0.
10．某海滨城市的气象台测得附近海面有台风，根据监测，当前台风中心位于该市正南方向300 km处，若台风以40 km/h的速度向东北方向移动，距台风中心250 km以内的区域都受到台风的影响，问从现在起，大约多长时间后，该市将受到台风的影响？该市持续受台风影响将长达多少小时？
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解：以该市为原点，东西方向为x轴建立平面直角坐标系，如图，由题意知，当台风中心进入圆x＋y＝250 内时，该市将受到台风的影响，根据监测，台风中心正沿直线x－y＝300向东北方向移动．
设直线x－y＝300与x轴，y轴的交点为A，B，交圆x＋y＝250于C，D两点，作OE⊥
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AB，垂足为E，
则在Rt△DOE中，|OE|＝150 2，|OD|＝250， ∴|DE|＝250－?150 2?＝50 7. 在Rt△BOE中，|BE|＝150 2， ∴|BD|＝|BE|－|DE|＝1502－507， |CD|＝2|DE|＝1007.
1502－5071007∴t1＝≈2，t2＝≈6.6.
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故从现在起，大约2 h后该市受到台风的影响，持续时间大约为6.6 h. 二、综合能力提升
1．圆x＋y＋4x－6y－3＝0的标准方程为( ) A．(x－2)＋(y－3)＝16 B．(x－2)＋(y＋3)＝16 C．(x＋2)＋(y－3)＝16 D．(x＋2)＋(y＋3)＝16
解析：选C 将x＋y＋4x－6y－3＝0配方，易得(x＋2)＋(y－3)＝16.
2．若方程x＋y＋Dx＋Ey＋F＝0(D＋E－4F＞0)所表示的圆与x轴相切，则有( ) A．D－4F＝0 C．D＝E
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B．D－4E＝0 D．D＋4F＝0
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?E?1222
解析：选A 由于圆与x轴相切，所以?－?＝ D＋E－4F，整理得D－4F＝0.
?2?2
3．已知实数x，y满足x＋y＋4x－2y－4＝0，则x＋y的最大值为( ) A.5 C．14－65
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B．3＋5 D．14＋65
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解析：选D 由题知点(x，y)在圆x＋y＋4x－2y－4＝0，即(x＋2)＋(y－1)＝9上．又圆心(－2,1)到原点的距离为2＋1＝5，故x＋y的最大值为(5＋3)＝14＋65.
4．若圆x＋y＋2ax－4ay＋5a－4＝0上所有点都在第二象限，则a的取值范围为( ) A．(－∞，2) C．(1，＋∞)
B．(－∞，－1) D．(2，＋∞)
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解析：选D 由x＋y＋2ax－4ay＋5a－4＝0，得(x＋a)＋(y－2a)＝4，其圆心坐标为(－－a<0，2a>0，??
a,2a)，半径为2，由题意知?|－a|>2，
??2a>2，
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解得a>2，故选D.
5．关于方程x＋y＋2ax－2ay＝0表示的圆，下列叙述中：①圆心在直线y＝－x上；②其圆心在x轴上；③过原点；④半径为2a.其中叙述正确的是________(要求写出所有正确命题的序号)．
解析：将圆的方程化为标准方程可知圆心为(－a，a)，半径为2|a|，故①③正确． 答案：①③
6．已知圆x＋y＋2x－4y＋a＝0关于直线y＝2x＋b成轴对称图形，则a－b的取值范围是________．
解析：由题意知，直线y＝2x＋b过圆心，而圆心坐标为(－1,2)，代入直线方程，得b＝4，圆的方程化为标准方程为(x＋1)＋(y－2)＝5－a，所以a＜5，由此，得a－b＜1.
答案：(－∞，1)
7．已知圆C：x＋y＋Dx＋Ey＋3＝0，圆心在直线x＋y－1＝0上，且圆心在第二象限，半径为2，求圆的一般方程．
解：圆心C?－，－?，∵圆心在直线x＋y－1＝0上，∴－－－1＝0，即D＋E＝－2，2?22?2①
又r＝
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?DE?DED2＋E2－12
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＝2，
∴D＋E＝20，②
??D＝2，
由①②可得?
?E＝－4?
??D＝－4，
或?
?E＝2.?
又圆心在第二象限，∴－＜0，即D＞0. 2
??D＝2，∴?
?E＝－4，?
D
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∴圆的方程为x＋y＋2x－4y＋3＝0. 探究应用题
8．已知圆C：x＋y－4x－14y＋45＝0，及点Q(－2,3)． (1)点P(a，a＋1)在圆上，求线段PQ的长及直线PQ的斜率； (2)若M为圆C上任一点，求|MQ|的最大值和最小值．
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