发布时间 : 星期二 文章(浙江专用)2018版高考数学大一轮复习 高考专题突破二 高考中的三角函数与平面向量问题教师用书更新完毕开始阅读
1?π?解 (1)由tan?＋A?＝2，得tan A＝. 3?4?sin 2A2tan A2
所以＝. 2＝
sin 2A＋cosA2tan A＋151
(2)由tan A＝，A∈(0，π)，
3得sin A＝
10310，cos A＝. 1010
πab又由a＝3，B＝及正弦定理＝，得b＝35.
4sin Asin B25?π?由sin C＝sin(A＋B)＝sin?A＋?得sin C＝，
4?5?1
设△ABC的面积为S，则S＝absin C＝9.
2题型三 三角函数和平面向量的综合应用
3??例3 已知向量a＝?sin x，?，b＝(cos x，－1)． 4??(1)当a∥b时，求cosx－sin 2x的值；
(2)设函数f(x)＝2(a＋b)·b，已知在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝3，b＝2，sin B＝解 (1)因为a∥b， 3
所以cos x＋sin x＝0，
43
所以tan x＝－. 4
cosx－2sin xcos x1－2tan x8
cosx－sin 2x＝＝＝. 222sinx＋cosx1＋tanx5
2
2
2
π???π??6?，求f(x)＋4cos?2A＋??x∈?0，??的取值范围．
6???3??3?
(2)f(x)＝2(a＋b)·b
1
＝2(sin x＋cos x，－)·(cos x，－1)
4π?33?＝sin 2x＋cos 2x＋＝2sin?2x＋?＋. 4?22?由正弦定理＝，得
sin Asin Babsin A＝
asin B＝b3×2
63
＝2， 2
π3π
所以A＝或A＝.
44π
因为b＞a，所以A＝.
4
π?π?1??所以f(x)＋4cos?2A＋?＝2sin?2x＋?－， 6?4?2??π?π11π??π?因为x∈?0，?，所以2x＋∈?，，
3?12?4?4??所以π?31?－1≤f(x)＋4cos?2A＋?≤2－.
6?22?
ππ1??3
所以f(x)＋4cos(2A＋)(x∈[0，])的取值范围是?－1，2－?.
632??2
思维升华 (1)向量是一种解决问题的工具，是一个载体，通常是用向量的数量积运算或性质转化成三角函数问题．(2)三角形中的三角函数要结合正弦定理、余弦定理进行转化，注意角的范围对变形过程的影响．
→→
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a>c.已知BA·BC＝2，cos
B＝，b＝3，求：
(1)a和c的值； (2)cos(B－C)的值．
→→
解 (1)由BA·BC＝2，得c·acos B＝2. 1
又cos B＝，所以ac＝6.
3
由余弦定理，得a＋c＝b＋2accos B. 又b＝3，所以a＋c＝9＋2×2＝13.
??ac＝6，解?22
?a＋c＝13，?
2
22
2
2
13
2
得a＝2，c＝3或a＝3，c＝2.
因为a>c，所以a＝3，c＝2. (2)在△ABC中，sin B＝1－cosB ＝ 1－
13
＝22
， 3
2c22242
由正弦定理，得sin C＝sin B＝×＝.
b339
因为a＝b>c，所以C为锐角， 因此cos C＝1－sinC＝
2
1－
42
9
2
7＝. 9
于是cos(B－C)＝cos Bcos C＋sin Bsin C 17224223＝×＋×＝. 393927
π5π3
1．已知函数f(x)＝Asin(x＋)，x∈R，且f()＝. 4122(1)求A的值；
3π3π
(2)若f(θ)＋f(－θ)＝，θ∈(0，)，求f(－θ)．
2245π5ππ2π
解 (1)∵f()＝Asin(＋)＝Asin
121243＝
33
A＝，∴A＝3. 22
π
)， 4
(2)由(1)知f(x)＝3sin(x＋故f(θ)＋f(－θ)
ππ3
＝3sin(θ＋)＋3sin(－θ＋)＝，
442∴3[
223(sin θ＋cos θ)＋(cos θ－sin θ)]＝， 222
36
∴6cos θ＝，∴cos θ＝. 24
π102
又θ∈(0，)，∴sin θ＝1－cosθ＝，
243π30
∴f(－θ)＝3sin(π－θ)＝3sin θ＝. 44
2．(2016·山东)设f(x)＝23sin(π－x)sin x－(sin x－cos x). (1)求f(x)的单调递增区间；
(2)把y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的图象向π?π?左平移个单位，得到函数y＝g(x)的图象，求g??的值． 3?6?解 (1)f(x)＝23sin(π－x)sin x－(sin x－cos x) ＝23sinx－(1－2sin xcos x) ＝3(1－cos 2x)＋sin 2x－1 ＝sin 2x－3cos 2x＋3－1 π??＝2sin?2x－?＋3－1.
3??
πππ
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，
232
2
2
2
π5π
得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．
1212所
以
f(x)的单调递增区间是
?kπ－π，kπ＋5π??1212???
π5π????(k∈Z)?或?kπ－，kπ＋?k∈Z?.
1212????π??(2)由(1)知f(x)＝2sin?2x－?＋3－1，
3??
把y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)．
?π?得到y＝2sin?x－?＋3－1的图象．
3??
π
再把得到的图象向左平移个单位，
3得到y＝2sin x＋3－1的图象， 即g(x)＝2sin x＋3－1.
π?π?所以g??＝2sin ＋3－1＝3.
6?6?
→→→→
3．已知△ABC的面积为2，且满足0 2π (2)求函数f(θ)＝2sin(＋θ)－3cos 2θ的值域． 4 解 (1)设在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c， 1 则由已知bcsin θ＝2,0 2可得tan θ≥1， ππ 又∵θ∈[0，π]，∴θ∈[，)． 42 2π (2)f(θ)＝2sin(＋θ)－3cos 2θ 4 π ＝1－cos(＋2θ)－3cos 2θ 2 π ＝(1＋sin 2θ)－3cos 2θ＝2sin(2θ－)＋1， 3ππππ2π ∵θ∈[，)，∴2θ－∈[，)． 42363π ∴2≤2sin(2θ－)＋1≤3. 3∴函数f(θ)的值域是[2,3]． π??4．函数f(x)＝cos(πx＋φ)?0＜φ＜?的部分图象如图所示． 2??