发布时间 : 星期三 文章2012全国初中数学竞赛试题及答案(安徽赛区)更新完毕开始阅读
中国教育学会中学数学教学专业委员会 2012年全国初中数学竞赛试题【安徽赛区】
一、选择题(共5小题,每小题7分,共35分. 每道小题均给出了代号为A,B,C,D的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里,不填、多填或错填都得0分) 1、如果a??2?2,那么1?112?3?a的值为【 】
(A)?2 (B)2 (C)2 (D)22 11?2?12??2?1,3?a?1?2解:B∵∴,3?a3?a112?3?a?2?1因此原式=2
2、 在平面直角坐标系xOy中,满足不等式x2?y2?2x?2y的整数点坐标(x,y)的个数为【 】 (A)10 (B)9 (C)7 (D)5 解:B解法一:x2?y2?2x?2y化为?x?1???y?1??2
22因为x、y均为整数,因此?x?1???y?1??0或?x?1???y?1??1或?x?1???y?1??2
222222分别解得??x?1?x?0?x?2或??y?1y?1??y?1??x?1?x?1?x?0?x?2?x?0?x?2或?所以共有9个整点 ?????y?0y?2y?2y?2y?0y?0??????22解法二:x2?y2?2x?2y化为?x?1???y?1??2它表示以点(1,1)为圆心,2为半径的圆内,画图可知,这个圆内有9个(0,2)、(0,1)(0,0),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(2,2)
3、如图,四边形ABCD中,AC,BD是对角线,△ABC是等边三角形.?ADC?30?,AD = 3,BD = 5,则CD的长为【 】
(A)32 (B)4 (C)25 (D)4.5
解:图,以CD为边作等边△CDE,连接AE. 由于AC = BC,CD = CE,
?BCD??BCA??ACD??DCE??ACD??ACE.所以 △BCD≌△ACE, BD = AE.
又因为?ADC?30?,所以?ADE?90?.在Rt△ADE中,AE?5,AD?3, 于是DE=AE2?AD2?4,所以CD = DE = 4.
4、如果关于x的方程x2?px?q?0的正根小于3,那么这样的方程的个数是【 】 (p,q是正整数)(A) 5 (B) 6 (C) 7 (D) 8
2p?p?4q2解:C∵p、q是正整数∴??p?4q?0,x1?x2??q?0∴正根为?3
2解得q?9?3p∴??p?1?p?1?p?1?p?1?p?1?p?2?p?2
,?,?,?,?,?,?
?q?1?q?2?q?3?q?4?q?5?q?1?q?2
111,,…,共100个数字.每次操作先从黑板上的数中选取2个数a,b,然后231005、黑板上写有1,
删去a,b,并在黑板上写上数a?b?ab,则经过99次操作后,黑板上剩下的数是【 】 (A)2012 (B)101 (C)100 (D)99 解:C a?b?ab?(a?1)(b?1)?1∵计算结果与顺序无关
111(1?1)(?1)?1?2(2?1)(?1)?1?3(3?1)(?1)?1?4,…… ,,∴顺次计算得:
2341(99?1)(?1)?1?100
100二、填空题(共5小题,每小题7分,共35分) 6、如果a,b,c是正数,且满足a?b?c?9,值为 .
11110abc???,那么??的a?bb?cc?a9b?cc?aa?b11110cab??????10即两边乘以a?b?c?9得3?a?bb?cc?a9a?bb?cc?acab???7 a?bb?cc?a7、如图,⊙O的半径为20,A是⊙O上一点.以OA为对角线作矩形OBAC,且OC?12.延长BC,
解:7在
28与⊙O分别交于D,E两点,则CE?BD的值等于 5 .
解:如图,设DE的中点为M,连接OM,则OM?DE. 因为OB?202?122?16,所以OM?OB?OC16?1248??, BC205CM?OC2?OM2?3664,BM?. 55643628??. 555CE?BD?(EM?CM)?(DM?BM)?BM?CM?8、设n为整数,且1≤n≤2012. 若(n2?n?3)(n2?n?3)能被5整除,则所有n的个数为 . 解:1600n2?n?3n2?n?3?n2?3?n2?n4?5n2?9
因此5|n?9,所以n?1(mod5),因此n?5k?1,或5k?22012?5?402??2所以共有2012-402=1600个数
44??????2(a,b,c)(x,y,z)9、如果正数x,y,z可以是一个三角形的三边长,那么称是三角形数.若和(,,)均为三角形数,且a≤b≤c,则
111abca的取值范围是 . c解:
3?5a??1 2c?a?b?c?依题意得:?111,所以b?c?a,代入(2)得
????bca11111????,两边乘以a得 abcc?ac1?aac?aa?即?化简得a2?3ac?c2?0,两边除以c2得 c?accc?a2a3?5a3?53?5aa?a?另一方面:a≤b≤c,所以?1综合得????1 ???3?1?0所以
c2c22ccc??(a,b)10、已知n是偶数,且1≤n≤100.若有唯一的正整数对使得a2?b2?n成立,则这样的n的个
数为 .
22n?a?b??a?b??a?b? 解:依题意得
由于n是偶数,a+b、a-b同奇偶,所以n是4的倍数当1≤n≤100时,4的倍数共有25个 但是4?2?2,24?2?12?4?6,32?2?16?4?8,40?2?20?4?10,
48?2?24?4?12?6?8,56?2?28?4?14,60?2?30?6?10,64?2?32?4?16 72?2?36?4?18?6?12,80?2?40?4?20?8?10,88?2?44?4?22 96?2?48?4?24?6?16?8?12
这些不符合要求,因此这样的n有25-12=13个 三、解答题(共4题,每题20分,共80分)
11、如图,在平面直角坐标系xOy中,AO?8,AB?AC,sin?ABC?4.CD与y轴交于点E,5且S△COE?S△ADE.已知经过B,C,E三点的图象是一条抛物线,求这条抛物线对应的二次函数的解析式.
解:因为sin∠ABC =
AO4?,AO?8,所以AB = 10. AB5由勾股定理,得BO?AB2?AO2?6.易知△ABO≌△ACO, 因此 CO = BO = 6.
?8),B(6,0),C(?6,0).设点D的坐标为(m,n).由S△COE?S△于是A(0, ADE,得S△CDB?S△AOB.