发布时间 : 星期五 文章江苏省苏北四市2019-2020学年高三数学上学期期末联考试题(含答案)更新完毕开始阅读
-
在Rt△BCD中，tan?BCD?tan?BCN?所以CD?BD． 则AC?AD?CD?BD?1， CD41BD?BD?BD?1，即BD?3， 33所以CD?3，AD?4， 由勾股定理得，AB?AD2?BD2?5(km)．
所以A，B两镇间的距离为5km．……………………………………………4分 （2）方案①：沿线段AB在水下铺设时，总铺设费用为5?4?20(万元)．………6分
方案②：设?BPD??，则??(?0,)，其中?0??BAN， 在Rt△BDP中，DP?所以AP?4?DP?4?π2BD3BD3，BP?， ??tan?tan?sin?sin?3． tan?6122?cos?．………8分 ??8?6?tan?sin?sin?则总铺设费用为2AP?4BP?8?2?cos?sin2??(2?cos?)cos?1?2cos?设f(?)?，则f'(?)?， ?22sin?sin?sin?令f'(?)?0，得??
π
，列表如下： 3
π 30 极小值 ? f'(?) f(?) π(?0,) 3ππ(,) 32? ? ↘ ↗ 所以f(?)的最小值为f()?3．
所以方案②的总铺设费用最小为8?63(万元)，此时AP?4?3． ……12分 而8?63?20，
所以应选择方案②进行铺设，点P选在A的正西方向(4?3)km处，总铺设费用最低．…………………………………………………………………………14分
-
π3-
?c2?,???a?4,?a218．（1）由题意，得? 解得? 则b?22， 2??c?22,?c?a?62,?c?x2y2所以椭圆C的标准方程为??1． ………………………………………4分
168（2）由题可设直线PA的方程为y?k(x?4)，k?0，则M(0,4k)，
所以直线FN的方程为y?(i)当直线PA的斜率为
222(x?22)，则N(0,?)． 4kk11，即k?时，M(0,2)，N(0,?4)，F(22,0)， 22因为MF?FN，所以圆心为(0,?1)，半径为3，
所以△FMN的外接圆的方程为x2?(y?1)2?9．……………………………8分
?y?k(x?4),?(ii)联立?x2y2 消去y并整理得，(1?2k2)x2?16k2x?32k2?16?0，
?1,???1684?8k24?8k28k解得x1??4或x2?，所以P(,)，……………………10分 2221?2k1?2k1?2k18k2?48k直线AN的方程为y??(x?4)，同理可得，Q(,?)，
1?2k21?2k22k所以P，Q关于原点对称，即PQ过原点．
116k所以△APQ的面积S?OA?(yP?yQ)?2??21?2k23212k?k≤82，……14分
当且仅当2k?12，即k?时，取“?”．
2k所以△APQ的面积的最大值为82．…………………………………………16分
x219．（1）当a?0时，f(x)?，所以f(x)≤0的解集为{0}；
2e当a?0时，f(x)?x(x?a)， 2e若a?0，则f(x)≤0的解集为[0,2ea]；
-
-
若a?0，则f(x)≤0的解集为[2ea,0]． 综上所述，当a?0时，f(x)≤0的解集为{0}；
当a?0时，f(x)≤0的解集为[0,2ea]；
当a?0时，f(x)≤0的解集为[2ea,0]． ……………………4分
x2x1x2?e（2）设h(x)?f(x)?g(x)?． ?lnx，则h'(x)???2eexex令h'(x)?0，得x?e，列表如下：
x (0,e) e 0 极小值 (e,??) ? h'(x) h(x) ? ↘ ↗ 所以函数h(x)的最小值为h(e)?0， x2所以h(x)??lnx≥0，即f(x)≥g(x)．…………………………………8分
2e（3）假设存在常数a，b使得f(x)≥ax?b≥g(x)对任意的x?0恒成立，
x2即≥2ax?b≥lnx对任意的x?0恒成立． 2e11x21而当x?e时，lnx??，所以≥2ae?b≥，
2e222所以2ae?b?11，则b??2ae， 22x2x21所以?2ax?b??2ax?2ae?≥0(*)恒成立，
2e2e2①当a≤0时，2ae?1?0，所以(*)式在(0,??)上不恒成立； 22112②当a?0时，则4a2?(2ae?)≤0，即(2a?)≤0，
e2e所以a?12e，则b??1e1．……………………………………………………12分 2e?xex-
令?(x)?lnx?x?1，则?'(x)?2，令?'(x)?0，得x?e，
-
当0?x?e时，?'(x)?0，?(x)在(0,e)上单调增； 当x?e时，?'(x)?0，?(x)在(e,??)上单调减． 所以?(x)的最大值?(e)?0．所以lnx?所以存在a?11x?≤0恒成立．
2e12e，b??1符合题意．………………………………………16分 220．（1）当n=1时，(a1+1)(a2+1)=6(S1+1)，故a2=5；
当n≥2时，(an-1+1)(an+1)=6(Sn-1+n-1)，
所以(an+1)(an+1+1）-(an-1+1)(an+1)=6(Sn+n)-6(Sn-1+n-1)， 即(an+1)(an+1-an-1)=6(an+1)，
又an>0，所以an+1-an-1=6，………………………………………………3分 所以a2k-1=a+6(k-1)=6k+a-6，a2k=5+6(k-1)=6k-1，k?N*，
ì?3n+a-3, n为奇数,n?N*,?故an=í …………………………………………5分 *?3n-1, n为偶数,n?N.??（2）当n为奇数时，Sn=1(3n+a-2)(3n+3)-n， 63n2+3n+2由Sn≤n(3n+1)得，a≤恒成立，
n+13n2+9n+43n2+3n+2>0， 令f(n)=，则f(n+1)-f(n)=(n+2)(n+1)n+1所以a≤f(1)=4．……………………………………………………………8分 当n为偶数时，Sn=1?3n(3n6a+1)-n，
由Sn≤n(3n+1)得，a≤3(n+1)恒成立， 所以a≤9．
又a1=a>0，所以实数a的取值范围是(0,4]．……………………………10分 （3）当a=2时，若n为奇数，则an=3n-1，所以an=3n-1．
解法1：令等比数列{bn}的公比q=4m(m?N*)，则bn=b1qn-1=5?4m(n-1)．
-