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第二章 测度论的知识要点与复习自测
一、Lebesgue外测度的知识要点：
◇ 熟练掌握Lebesgue外测度的定义和外测度的基本性质（包括基本性质：非负性、单调性、次可数可加性；Lebesgue外测度的特有性质：距离分离性）；
◇ 会用定义或性质求一些典型集合的外测度（例如：Rn中至多可数集，区间，Cantor（三分）集，黎曼可积函数（特别是连续函数）图象等的外测度）；
◇ 特别注意零测集的含义和性质【如Rn中的任何集合并上零测集或减去零测集外侧度不变；零测集的子集仍为零测集；至多可数个零测集的并集仍为零测集】。
自测题：
n1、叙述R中Lebesgue外侧度的定义及性质，并用定义和性质解决如下问题：
nn*n（1）设Q?R为有理点集，计算mQ?0；
n*（2）设E?R为至多可数集，计算mE?0；
*（3）设E,F?Rn，mE?0，则m*?F?E??m*F?m*?F\\E?。
2、据理说明下面的结论是否成立：设E?R， （1）若E为有界集，则mE???； （2）若mE???，则E为有界集； （3）若mE???，则E为无界集； （4）若E为无界集，则mE???。
3、设I?R为区间，证明：m*I?I，其中I表示I的体积（注意I分有界和无界
n****n两种情况来证明）；并利用此结论和外侧度的性质再解决如下问题：
（1）设P?[0,1]?R1为三分Cantor集，则mP?0；（注意三分Cantor集的构造） （2）设f(x)为定义在[a,b]?R1上的黎曼可积函数，
*Gp(f)??(x,y)y?f(x),x?[a,b]??R2，
f(x)在[a,b]的图像，则m*Gp(f)?0；（注意黎曼可积的充要条件的使用）
（3）设E?R有内点，则mE?0；
（4）（外侧度的介值性）设E?R为有界集，mE?0，则对任意0?c?mE，存在E1?E，使得，m*E1?c；（注意构造适当的连续函数，利用连续函数的介值性）
（5）（外侧度的介值性的一般形式）设E?R，mE?0，则对任意0?c?mE，存在E1?E，使得，m*E1?c。（注意：此结论要用到后面的等测包定理和单调递增可测集列的测度性质）
11n*****
二、Lebesgue可测集的知识要点：
◇ 熟练掌握Lebesgue可测集的卡氏定义（即C.Caratheodory定义）及等价
***条件（如：余集的可测性；对任意的A?E和B?Ec，总有m?A?B??mA?mB），会用定义或等价条件来证明一些点集的可测性（例如：零测集，区间等）；
◇ 熟练掌握可测集的并、交、差、余运算性质，并会熟练地运用这些性质来判断集合的可测性；
◇ 记???E?RnE是可测集?，则??2c?c，其中c为连续基数； ◇ 熟练掌握单调可测集列测度的极限性质，理解对单调递减的可测集列为什么要加上条件“其中至少有一个的测度是有限数”才能保证结论成立，并弄清楚此条件在证明中所起的作用；
◇ 熟练掌握下面的常用测度等式或不等式（以下集合都是Rn中的可测集） （1）设E1，E2，?，Em为互不相交的可测集，则
； m?Ei??mEi（有限可加性）
i?1i?1mm设E1，E2，?，Em为可测集（注意没有互不相交的要求），则
。 m?Ei??mEi（次有限可加性）
i?1i?1mm（2）设E1，E2，?，Ek，?为互不相交的可测集，则
； m?Ek??mEk（可数可加性）
k?1k?1??设E1，E2，?，Ek，?为可测集列（注意没有互不相交的要求），则
。 m?Ek??mEk（次可数可加性）
k?1k?1??（3）差集测度的关系（注意思考：条件“mE???”的作用）
设E和G都是可测集，且E?G，则
① mG?m(G\\E)?mE； ②当mE???时，m(G\\E)?mG?mE。 设E和G都是可测集，则
① mG?m(G\\E)?mE； ②当mE???时，m(G\\E)?mG?mE。
（4）单调可测集列测度的极限性（注意思考成立的条件）
设?Ek?为单调递增的可测集列，则
???mlimEk?m??Ek??limmEk； k???k?1?k??设?Ek?为单调递减的可测集列，且存在Ek0，使得mEk0???，则
mlimEk?m?Ek?limmEk。
k??k?1k???????（5）一般可测集列测度的极限性
设?Ek?为可测集列，则
①mlimEk?limm(?Ek)?limmEk（关于测度的Fatou定理【入不敷
k??k??i?kk???出】）；
②若存在k0，使得m?Ei???，则
i?k0?mlimEk?limm(?Ek)?limmEk；
k??k??i?kk???③若limEk?E存在，且存在k0，使得mEk0???，则limmEk存在，且
k??k??limmEk?mE。
k??（6）【可测集的直积的可测性及测度的计算公式】设A?Rp为可测集，B?Rq为可测集，则A?B为Rp+q上的可测集，且
m(A?B)=mA?mB。
自测题：
1、证明下面的差集测度或外侧度的关系（注意思考：条件“mE???”的作用） 设E,G?R
（1）若E和G都是可测集，且E?G，则
① mG?m(G\\E)?mE； ② 当mE???时，m(G\\E)?mG?mE。 （2）若E和G都是可测集，则 ① mG?m(G\\E)?mE； ② 当mE???时，m(G\\E)?mG?mE。 （3）若E和G不是可测集，则 ① m*G?m*(G\\E)?m*E；
② 当mE???时，m*(G\\E)?m*G?m*E。
2、利用1和可测集的性质证明： （1）设E,G?R都是可测集，则
n*nm?G?E??m?G?E??mG+mE；
【注意：m?G?E?\\G?E\\?G?E?】
（2）利用（1）和等侧包定理证明：设E,G?R（不必为可测集），则
nm*?G?E??m*?G?E??m*G+m*E。
3、试利用差集的测度关系以及区间的测度再证明： （1）设P?[0,1]?R1为三分Cantor集，则mP?0；
??2n?n?1【注意：三分Cantor集的构造P?[0,1]\\??(?Ii)?），其中Iin（i?1,2,?,2）为Cantor
?n?1i?1?1集的构造过程中第n步去掉的长度均为n的开区间】
3（2）对于任意给定正数0?a?1，不改变Cantor集的构造思想，只是将在Cantor集的
1?a1?a1?a1?a,2,3,?,n,?的开区构造过程中每一步去掉的开区间分别换为长度分别为33331?an?1间（比如第n步换为去掉2个长度都为n的互不相交的开区间），并记这样得到的集为
3（称为类Cantor集或一般Cantor集，它是闭集也是完全集还是疏朗集），证明： mPP0?a。04、证明一般可测集列测度的极限性：
设?Ek?为可测集列，则
①mlimEk?limm(?Ek)?limmEk（关于测度的Fatou定理【入不敷出】）；
k??k??i?k?n?1?k??②若存在k0，使得m?Ei???，则
i?k0mlimEk?limm(?Ek)?limmEk；
k??k??i?kk???③若limEk?E存在，且存在k0，使得mEk0???，则limmEk存在，且
k??k??limmEk?mE。
k??④ 若
?mE*k?1?k???，则limEk和limEk都是零测集。
k??k??三、可测集的结构的知识要点：
◇ Rn中的几种常见的具体的可测集：零测集，任何区间，开集，闭集，F?型集，G?型集，Borel集。
◇ 熟练掌握并熟记下面的几种关系（可测集的结构）： （1）对任意E?Rn，E与G?型集的关系（等测包定理）； （2）可测集与开集的关系，可测集与G?型集的关系； （3）可测集与闭集的关系，可测集与F?型集的关系。
自测题：
1、仔细体会等测包定理的证明思想，解决下面的问题：
（1）如何将一个G?型集表示成一列单调递减的开集的交集？
n（2）设E?R，则存在一列单调递减的开集列?Gk?，使得，对每一个k?1，
?1??E?Gk，mE?mGk?mE?，且mlimGk?m??Gk??m*E；
k??k?k?1?**n（3）设E?R有界，则存在一列单调递减的有界开集列?Gk?，使得，对每一个k?1，
?????1??E?Gk，mE?mGk?mE?，且mlimGk?m??Gk??m*E。
k??k?k?1?**注：（2）和（3）为等测包定理的更为细致的形式。
2、试利用等测包定理和单调递增可测集列测度的极限性质证明：
设Ek?Rn（k?1,2,?）为一列单调递增的集列，每个Ek不必为可测集，则 （1）存在一列单调递增的G?型集Gk（k?1,2,?），使得，对每一个k?1，Ek?Gk，且m*Ek?mGk；
???*（2）limmEk?m??Ek??mlimEk（单调递增集列的外侧度的极限性质）。
k??k???k?1?**??3、试证明可测集与开集和闭集的下面的关系（可测集与开集和闭集的更细致的关系）：设E?R是可测集，则
（1）对任意的??0，存在开集G，使得E?G，且
nm?G\\E???；
（2）存在一列单调递减的开集Gk（k?1,2,?），使得，对每一个k?1，E?Gk，且m?Gk\\E??1； k1。 kpqp+q（3）存存在一列单调递增的闭集Fk（k?1,2,?），使得，对每一个k?1，Fk?E，且m?E\\Fk??4、试利用可测集的结构和开集的结构证明“可测集的直积的可测性及测度的计算公式”，即，设A?R为可测集，B?R为可测集，则A?B为Rm(A?B)=mA?mB。
上的可测集，且
5*、定义1：设f:E?[0,??)，其中E?R为可测集，记
1Gp?f,E???(x,y)x?E,0?y?f(x)??R2，
则称Gp?f,E?为非负实函数f在E上的下方图形（相当于数学分析中定义在[a,b]上的一元非负函数所构成的曲边梯形）；
1
定义2：设E?R为可测集，且E??Ei，其中Ei（i?1,2,?,m）都是R中的可
i?11m测集，且互不相交（E??Ei称为可测集E的一个有限不交的可测分解），现定义
i?1mf:E?[0,??)如下：
?c1,x?E1?c,x?Em?22f(x)???c1?E1(x)?c2?E2(x)???cm?Em(x)??ci?Ei(x)，x?E，
?i?1???cm,x?Em其中ci?0（i?1,2,?,m）都为常数，?Ei(x)为E为全集时Ei的示性（特征）函数，则称f在可测集E上的一个非负简单函数。
试利用4“可测集的直积的可测性及测度的计算公式”解决下面的问题：设f是按定义2定义的可测集E上的非负简单函数，Gp?f,E?的含义如定义1，则
（1）Gp?f,E???Ei?[0,ci)，其中Ei?[0,ci)（i?1,2,?,m）互不相交；
i?1m（2）Gp?f,E?是R上的可测集；
2（3）mGp?f,E??
?c?mE。
iii?1m四、记住一个在构造反例时有用的结论：对任意E?Rn，只要m*E?0，则存在
。 E1?E，使得E1为不可测集（即Rn中一定存在不可测集）
自测题：
据理说明：
（1）为什么R中的零测集中一定不存在不可测子集？
（2）为什么R中的不可测集总有外侧度，且外侧度一定大于零？ （3）为什么R中的不可测集一定是不可数集？
nnn