发布时间 : 星期一 文章弹性力学参考更新完毕开始阅读
（2）相容方程
（3）应力边界条件（假设全部为应力边界条件，
）
（在
5. 在常体力情况下，按应力求解可进一步简化为按应力函数 （1）相容方程
（2）应力边界条件（假设全部为应力边界条件，
）。
上） 求解。
必须满足下列全部条件：
（在
（3）若为多连体，还须满足位移单值条件。 求出应力函数
后，可以按下式求出应力分量，
上）
（三）按位移求解的简化
按应力求解平面问题，原先具有三个未知函数应力函数
。艾里求出了平衡微分方程的通解，可以用
的过程，也就证明了
的存在性。
应满足
表示三个应力分量，且能完全满足平衡微分方程。导出
因此，按应力求解平面问题，均可改为按应力函数的相容方程也化为较简单的重调和方程
求解：其中的未知函数只有一个，且
在按位移求解平面问题中，许多力学家也想找出更简便的途径。下面介绍两种方法，可用来简化平面问题按位移求解的方法。 （1）引用位移势函数的方法 假定位移是有势的，即位移分量
可以分别用一个势函数
的导数来表示，
将上式代入按位移求解的平衡微分方程，得出
若不计体力，则上述方程可以归纳为
其中C为任意常数。
于是，求解平衡微分方程的解答得出位移
，就化为求解泊松方程（b）的解答
，求出
后，可由式（a）
，再由几何方程和物理方程得出应力，并使它们分别满足位移或应力边界条件。
，使原先的两个未知函数
，简化为一个位移势函数
。
引用位移势函数
它应满足的泊松方程也简单得多，因而使求解的方法得到简化。其局限性是，其中人为地假定了位移是有势的，且使相应的体积应变 （2）引用位移函数的方法 假定位移分量
可以用位移函数
和
表示为如下形式：
，即弹性体中各点的体积应变均等于同一常量。
将式（c）代入用位移表示的平衡微分方程，若不计体力，就得到
于是，求解位移分量
的问题，就化为求解位移函数
的问题。
都是重调和函数，
应满足重调和方程（d）。求出位移函数移或应力边界条件。
后，便可以得出位移和应力分量，并使它们分别满足位
引用位移函数，同样可以使求解的方程得到简化，如式（d）所示。但位移的表达式（c）同样是假定的，只能用来求解某些问题，而不能代表任何问题的解都符合式（c）的假定，即不具有普遍性。 （四）平面问题的位移连续性条件――相容方程的导出 这里仿照空间问题相容方程的导出，给出平面应变问题（于相容方程的导出和证明。 （1）位移函数 位移函数 a.必须存在； b.而且相容。 （2）求出
的导数。
存在（有解），则必然连续，即具有连续性。
，只有
且仅为
的函数）中关
具有连续性的充分必要条件是，其导数
由几何方程，并引入微分体的转动分量出
，由切应变和转动分量两式，得
（3）
的导数必须满足相容性条件，即
将式（e）、（f）代入式（g），整理后得
由此可见，从 （4）转动分量
导数的相容性条件导出，式（h）必须成立。 存在且具有连续性的条件是，
的导数存在。
a.其导数存在─从式（h）可见，只要形变分量存在，则 b.其导数必须相容，即满足
将式（h）代入式（i），整理后便得出
这就是平面问题的相容方程。 （5）归纳起来讲，位移
存在且具有连 续性的条件是，形变分量满足相容方程（j）。
第三章 教学参考资料
（一）本章学习重点及要求
本章是按应力求解平面问题的实际应用。其中采用应力函数φ作为基本未知数进行求解，并以直角坐标来表示问题的解答。在学习本章时，应重点掌握： 1. 按应力函数φ求解时，φ必须满足的条件。 2. 逆解法和半逆解法。 3. 由应力求位移的方法。
4. 从简支梁受均布荷载的问题中，比较弹力学和材料力学解法的异同。
在早期应用逆解法和半逆解法，曾经得出许多平面问题的解答。但是对于有复杂荷载和边界条件的工程实际问题，是难以用这些方法找出函数式解答的。我们可以采用弹性力学的近似解法来求解工程实际问题。因此，我们不要求读者去求解新的问题的解答，而是要求读者了解弹性力学问题是如何求解的，如何满足有关的方程和边界条件的。从而使读者能阅读和理解弹性力学已有的解答，并应用到工程实践中去。 （二）本章内容提要
1. 按应力函数φ求解时，φ必须满足： (1) 区域A内的相容方程，（2）s=sσ上的应力边界条件（假设全部为应力边界条件）（3）多连体的位移单值条件。
2. 在半逆解法中寻找应力函数φ时，通常采用下列方法来假设应力分量的函数形式（1）由材料力学解答提出假设，（2）由边界受力情况提出假设，（3）用量纲分析方法提出假设。 3. 在校核应力边界条件时，必须注意以下几点（见（四））。
4. 学习本章的重点，是掌握弹性力学问题按应力求解的方法。要求读者在掌握这些基本理论之后，能阅读和理解弹性力学文献，并将已有的解答应用到工程实践中去。
5. 对于工程实际问题，由于边界形状和受力、约束条件较为复杂，难以得出微分方 程的函数式解答。因此，并不要求读者去求解新的解答，只要求能掌握基本理论，并能应用弹性力学近似解法（见后面几章）去解决工程实际问题。 （三）重力坝的材力解法
一般重力坝的分析，采用的是材料力学的解法，称为重力法。其解法的要点是：对重力坝进行分层计算，对每一水平层，
1. 假设σy沿水平的x向为直线分布，即σy=a(y)+b(y)x，并由偏心受压公式确定每一层的a和b。 2. 将σy代入平衡微分方程（2-2）的第二式，并对x积分，可得出切应力txy的表达式，txy=a1(y)+b1(y)x+c1(y)x2再由上，下游切应力的边界条件，及水平截面上的总水平力的平衡条件来确定a1,b1及c1。
3. 将txy代入平衡微分方程（2-2）的第一式，并对x积分，可得出水平向正应力σx的表达式，σx=a2(y)+b2(y)x+c2(y)x2+d2(y)x3其中的a2…d2可由上下层对 y的导数（差分形式）及上下游边界条件确定。 重力法至今仍列入重力坝的规范中，作为设计的方法。这是因为:
重力坝中最主要的应力σy为直线分布，符合楔形体的解答及坝体上部2/3区域的实际情形； (1)重力法计算简单；
(2)在中低坝中倾复和滑移的稳定性是设计中的主要控制因素，因此应力可简单地按上述方式进行分析。 从弹性力学观点来看，重力法中虽然考虑了平衡微分方程，但没有满足相容方程；又因为实际重力坝的下部是与地基联接的，下部的边界条件也没有进行考虑。因此，对于近代工程中出现的高坝和其他复杂形式的坝体，可以用弹性力学的近似解法—有限单元法进行较精确的分析。 （四）校核应力边界条件时，应注意下列几点：
1. 应首先校核主要边界（大边界），在主要边界上必须精确满足应力边界条件（式（2-15））。 2. 其次校核次要边界条件（小边界、局部边界），在次要边界上，若精确的应力边界条件不能满足时，可以应用圣维南原理，用三个积分的应力边界条件（等效的主矢量、主矩的条件）来代替。后者虽然是近似的应力边界条件，但应用于小边界，只影响局部区域的应力，对整个弹性体的解答没有明显的影响。