《概率统计》练习题及参考答案

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求EX2。

8.设随机变量X的密度函数为f(x)?1?x,9.设随机变量X的密度函数为f(x)?e?Ax2?1?x?1,求EX。

,???x???,求A及EX,DX。

10.设随机变量X与Y相互独立,且DX?4,DY?2,则Z?3X?2Y的方差是多少?

11.设随机变量X服从参数为2的指数分布,试求:(1)(2)E(eE(3X)与D(3X);与D(e?3X?3X))。

12. 设离散型随机变量X的可能取值为-1,0,1,且EX?0.1,DX?0.89,试求X的概率分布。

13. 设随机变量X服从?分布,其概率密度为

?????1??x?xe,x?0; f(x)???(?)?x?0,?0,其中??0,??0是常数,求EX和DX。

14.若随机变量X服从均值为2,方差为?的正态分布,且p{2?X?4}?0.3,求

2p{X?0}。

15.现有10张奖券,其中贰元的8张,伍元的2张。今某人从中随机地无放回地抽取了

3张,求此人得奖金额的数学期望。

16.设随机变量X的密度函数为

2?x?2x?2?e,x?0 f(x)???2?x?0?0,

其中??0是常数,求EX,DX。

17.设随机变量(X,Y)的联合分布列为下表所示,

Y X 0 1 2 0 1 2 0.06 0.12 0.04 0.16 0.14 0.20 0.08 0.10 0.10 求EY,E(X2?1),E(XY)。

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18.设二维随机变量(X,Y)的联合分布列为右表所示,

(1)求EX,EY;(2)设Z?Y/X,求EZ;(3)设Z?(X?Y),求EZ。

19.设随机变量(X,Y)的联合密度函数为

2????cosxcosy,0?x?,0?y?;f(x,y)??22,

?0,其它.?试求EX,DY,E(XY?X)。

20.设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为

2?k,0?x?1,0?y?x f(x,y)??

0,其它?求E(XY)。

21.设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为

?12y2,0?y?x?1 f(x,y)??

0,其它?求EX,EY,E(XY),E(X?Y)。

22.设随机变量X与Y相互独立,且EX?EY?1,DX?2,DY?4,求E(X?Y),并求出X与Y的相关系数。

23.设A和B是试验E的两个事件,且p(A)?0,p(B)?0,并定义随机变量X与Y如下:

222?1,若A发生?1,若B发生X??,Y??

0,若A不发生0,若B不发生??证明:若??0,则X与Y必定相互独立。

24.设随机变量X与Y相互独立,证明:D(XY)?DX?DY。

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(B)

1.设汽车起点站分别于每小时的10分、30分和55分发车,若乘客不知发车的时间,在每一小时内的任一时刻X随机到达车站,求乘客等待的时间的数学期望(精确到秒)。

2.一台设备由三大部件构成,运转中它们需调整的概率分别为0.1,0.2,0.3,假设它们的状态相互独立,以X表示同时需调整的部件数,求EX,DX。

3.设随机变量(X,Y)的联合分布列为下表所示,

Y X 0 1 0 1 2 0.1 0.2 0.2 0.3 0.1 0.1 试求(1)cov(X,Y),?;(2)X与Y的协方差矩阵。

4.m个人在大楼的1楼进入电梯,大楼共有n?1层,电梯在每一层都可以停,若每人在任何一层楼走出电梯的概率相同,且若某层没有人走出电梯时,电梯可以不停,试求直到电梯中的乘客都走空时,电梯需停次数的数学期望。

5.设袋中有2只红球和3只白球,n个人轮流摸球,每人摸出2球,然后将球放回袋中由下一人摸,求n个人总共摸到的红球数的数学期望和方差。

6.某人有n把钥匙,其中只有一把能打开门,从中任取一把试开,试过的不再重复,直至把门打开,求试开次数的数学期望和方差。

7.设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为

?1?(x?y),0?x?2,0?y?2 f(x,y)??8

?0,其它?求EX,EY,cov(X,Y),?,D(X?Y)。

8.设随机变量X与Y独立同分布于正态分布N(?,?),试求Z1??X??Y和

2Z2??X??Y的相关系数(其中?,?是不为零的常数)。

9.设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为

?1?(x?y),0?x?2,0?y?2 f(x,y)??8

?0,其它?求EX,EY,Cov(X,Y)。

10.设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为

11

?3?xy,0?x?2,0?y?x2 f(x,y)??16

?其它?0,求:(1)X与Y的数学期望及方差;(2)X与Y的协方差及相关系数。

11.设区域G为x?y?1,二维随机变量(X,Y)服从G上的均匀分布,判断X与Y的相关性、独立性。

22习题四 (A)

1.设随机变量X的数学期望EX??,方差DX??,利用切贝谢夫不等式,估计概率p{X???3?}。

2.已知正常男性成人血液中,每毫升白细胞数平均是7300,标准差是700.利用切贝谢夫

不等式估计每毫升血液中的白细胞数在5200至9400之间的概率。

3.在每次试验中,事件A发生的概率等于0.5,利用切贝谢夫不等式估计,在1000次独立试验中,事件A发生的次数在400至600次之间的概率。

4.设随机变量X和Y的数学期望分别为-2和2,方差分别为1和4,相关系数为-0.5,根据切贝谢夫不等式可估计p{X?Y?6}。

5.保险公司为了估计企业的利润,需要计算各种概率。若一年中某类投保者中每个人死亡的概率等于0.005,现有这类投保者1万人,试求在未来一年中在这些投保人中死亡人数不超过70人的概率。

6.旅客买一份旅行保险交保险费20元,如果在旅行中遇事故身亡,保险公司向家属赔付20万元。设这一类伤亡事故的发生率为0.000081,假定这一年卖出100万份保险,若不计保险公司的运营成本,求(1)保险公司亏本的概率;(2)保险公司赚到500万元的概率。 7.若每次射击命中目标的概率为0.1,不断地进行射击,求在500次射击中,击中目标的次数在(49,55)内的概率。

8.某工厂每月生产10000台液晶投影机,但它的液晶片车间生产液晶片合格品率为80%,为了以99.7%的可能性保证出厂的液晶投影机都能装上合格的液晶片。试问该液晶片车间每月至少应该生产多少片液晶片?

9.某产品的合格品率为99%,问包装箱中应该装多少个此种产品,才能有95%的可能性使每箱中至少有100个合格产品。

10.计算机在做加法运算时,对每个加数取整(取最接近它的整数),设所有取整数误差是相互独立的,且它们都在[-0.5,0.5]上服从均匀分布。将1500个数相加,求误差总和的绝对值超过15的概率。

11.某电站供应一万户用电,假设用电高峰时,每户用电的概率为0.9,利用中心极限定理计算(1)同时用电户数在9030户以上的概率;(2)若每户用电200瓦,问电站至少应具备多大的发电能力,才能以95%的概率保证供电。

12. 设随机变量Xi(i?1,2,?,100)相互独立同分布于泊松分布

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