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高数下复习纲要
（相应例题可参阅各章总习题）
一、 向量代数与空间解析几何
1、（1）向量的基本概念，向量的坐标
（2）向量的线性运算，向量的数量积、向量积、混合积 2、（1）平面的几种方程的表示方法（点法式、一般式方程、三点式方程、截距式方程），两
平面的夹角；
（2）空间直线的几种表示方法（参数方程、对称式方程、一般方程、两点式方程），两直
线的夹角、直线与平面的夹角；
（3）几种常见的旋转曲面、柱面、二次曲面； 常见题型：
1、向量的的基本概念的相关知识
例 设已知两点M1(4,2,1)和M2(3,0,2)，计算向量M1M2的模，方向余弦和方向角. 解、M1M2=（-1，-2，1）
M1M2=2,cos???2?3??121,??,?? ,cos???,cos??,??3432222、向量的数量积、向量积、混合积的计算
例、知M1(1,?1,2),M2(3,3,1),M3(3,1,3)，求与M1M2,M2M3同时垂直的单位向量. 解：M1M2?{2,4,?1},M2M3?{0,?2,2}
ijka?M1M2?M2M3?24?1?6i?4j?4k
0?22?a6?4?4??{,,}即为所求单位向量。 a217217217例、已知OA?i?3k,OB?j?3k，求?OAB的面积
i解：OA?OB?1jk03??3i?3j?1k，|OA?OB|=19
013 S?OAB?191 |OA?OB|=
22???例、已知直角坐标系内矢量a,b,c的分量,判别这些矢量是否共面?如果不共面,求出以它们
1
为三邻边作成的平行六面体体积. (1)(2)?a??3,4,5??a??3,0,?1?, ,
?b??1,2,2??b??2,?4,3?, ,
?c??9,14,16??c???1,?2,2?
.
.
345??????2?0 ∴向量a,b,c共面 解: (1)共面 ∵(a,b,c)=129141630?1?????? (2)不共面 ∵(a,b,c)=2?43?2 ∴向量a,b,c不共面 以其为邻边作成
?1?22的平行六面体体积V?2
3、求平面方程（找到平面过的点和平面的法向量），注意利用两向量的叉乘知识来解决平面的法向量。
例 求过点(3,1,-2)且通过直线
x?4y?3z??的平面方程. 521解：因为平面过直线，所以过直线上的点A（4，-3,0），已知过点B(3,1,-2),从而过向量
AB?(?1,4,?2)及直线的方向向量v?(5,2,1),因此平面的法向量可求出
n?AB?v?(8,?9,?22)，再由平面的点法式方程知所求平面为：8x?9y?22z?59?0。
（2，0，?3）例、求过点且与直线??2x?2y?4z?7?0,垂直的平面方程。
?3x?5y?2z?1?0.?i解：s?2?j?k?24??16(1,?1,?1) 35?2所求平面方程为(x?2)?(y?0)?(z?3)?0 即x?y?z?5?0
4、求直线方程（找出直线所过的点与直线方向向量）
例、求过M0(?1,0,4)且平行于平面3x?4y?z?10?0又与直线的直线方程。 解：设所求直线方程为
x?1y?3z??相交112x?1yz?4?? mnp?所求直线与已知平面平行，则所求直线的方向向量与已知平面的法向量垂直即有
3m?4n?p?0 （1）
又所求直线与已知直线（相交）共面，在已知直线上任取一点M1(?1,3,0)，则
2
mn在平面上。三向量(所求直线，已知直线，M0M1)共面，得1p2?0，
10即10m?4n?3p?0 （2）
由（1）（2），得m:n:p?16:19:28 ?所求直线方程：
3?4x?1yz?4?? 161928 5、用平面束解题；过直线??A1x?B1y?C1z?D1?0的平面可设为
Ax?By?Cz?D?0222?2(A1x?B1y?C1z?D1)??(A2x?B2y?C2z?D2)?0
例、求通过平面4x?y?3z?1?0和x?5y?z?2?0的交线且通过原点 解：设所求的平面为：(4x?y?3z?1)??(x?5y?z?2)?0
欲使平面通过原点，则须：?1?2??0，即??故所求的平面方程为：
1， 22(4x?y?3z?1)?(x?5y?z?2)?0
即：9x?3y?5z?0。
6、求平面与直线的夹角、距离、位置关系、直线与平面的交点等 例、求原点到
x?1z?3?y?2?的距离。 22解：过点（0，0，0）与且直线垂直的平面方程为 2(x?0)?(y?0)?2(z?0)?0
?x?2t?110? 将直线L化为参数式方程为?y?t?2代入直线L的垂面方程，得t??
9?z?2t?3? 所以（0，0，0）在直线L上的垂足为(?1187,,) 999 所求距离为d?(?112827210026? )?()?()?14?399997、旋转曲面、柱面、投影曲线的方程（例见习题、总复习题）
二、 多元函数微分学
1、 平面点集的概念，多元函数的极限与连续
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2、 多元函数的偏导数定义；多元函数的一阶和高阶偏导数计算；多元复合函数及多元
隐函数的偏导数计算。
3、 多元函数全微分概念和计算，多元函数可微、可偏导、连续三者的关系 4、 空间曲线的切线与法平面；空间曲面的切平面与法线；方向导数与梯度 5、 多元函数极值及最值；多元函数条件极值及拉格朗日乘数法 常见题型：
1、讨论多元函数的极限
sinx3?siny3（1）lim 22?x,y???0,0?x?yx?ysinx3?siny3??x?y?0，?x,y???0,0? 解： 2222x?yx?y33????sinx3?siny3?0 所以lim22?x,y???0,0?x?y （2）
?????x,y???0,0?x2y2limx2y2??x?y?22
解：：limx?0y?0x2y2xy??x?y?22?0， limx2y2xy??x?y?222x?y?0?1
所以
?x,y???0,0?x2y2x2x?ylimx2y2??x?y?2不存在。?
（3）lim??1?x??y?a??1??xy?? ?a?0?
?1??解：limln?1??x??xy???y?ax2x?y?x11x21x21???lim?? ?lim??limln?1???x??x??x??x?yx?yyax?yxyxy??y?ay?ay?a
?1??1? lim??x???xy??y?ax2x?y?e
1a2、多元函数偏导数的计算、证明（例见习题、总复习题） 3、多元函数可微、可偏导、连续三者的讨论 例：证明f?x,y??xy在?0,0?点连续，fx?0,0?，fy?0,0?存在，但在?0,0?点不可微。
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