发布时间 : 星期四 文章全等三角形学习方法更新完毕开始阅读
【典型例题】
（一）构造全等三角形法：
例1. 已知：如图，AB∥CD，AD∥BC，证明：AB＝DC，AD＝BC
分析：需得到AB＝DC，AD＝BC，需构造三角形，因此可添加辅助线：连结AC。 证明：连结AC ∵AB∥CD ∴∠1＝∠2 又∵AD∥BC ∴∠3＝∠4
在△ADC和△CBA中
∴△ADC≌△CBA（ASA）
∴AB＝DC，AD＝BC（全等三角形的对应边相等）
例2. 如图，△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于D，CE⊥BD的延长线于E，求证：BD＝2CE。
分析：
和CE⊥BD”，想到延长CE、BA相交于F，因此先证明CF＝2CE，再证明BD＝CF。由此知需要证明△ABD≌△ACF。
证明：延长CE、BA相交于F 在△FBE和△CBE中
∴△BEF≌△BEC
∴CF＝2CE
在Rt△BEF中，∠2＝90°－∠F 同理∠1＝90°－∠F ∴∠1＝∠2
在△ABD和△ACF中
∴△ABD≌△ACF ∴BD＝CF ∴BD＝2CE
小结：①在题目中如果含有角平分线且含有和这条角平分线垂直的条件时，要想到翻折图形，此题所作的辅助线，实质上是将Rt△BCE以BE所在的直线为轴翻折过去得Rt△BFE。
②此题图中，可以把BE、CA看成是△FBC的两条高，注意“∠1＝∠2”这个结论。
（二）巧用勾股定理
例3. 已知：如图，△ABC中，AB＝AC，D为BC上任一点，求证：AB2－AD2＝BD·DC（AB＞AD）
分析：此题的求证中出现了AB和AD，由此可联想到把它们放到两个直角三角形中，利用勾股定理可得有AB2和AD2的式子，因此想到作辅助线AE⊥BC于E。 证明：过A作AE⊥BC于E ∵AB＝AC，AE⊥BC
∴BE＝CE，∠AEB＝∠AEC＝90°
在Rt△AEB和Rt△AED中，由勾股定理得：
2
2
例4. 如图，已知四边形ABCD为正方形，点E为AB的中点，点F在AD边上，且AF
求证：EF⊥CE
分析：此题中的已知条件告诉了我们边之间的关系，若设AF＝a，则可得正方形边长为4a，AE＝BE＝2a，DF＝3a，由直角三角形和这些边的关系，我们很容易想到勾股定理和其逆定理来证明两条直线互相垂直。 证明：连结FC，设AF＝a，则正方形边长为4a，
AE＝BE＝2a，DF＝3a 由勾股定理得： 在Rt△AEF中，
在Rt△BCE中，
在Rt△CDF中，
由勾股定理的逆定理知△EFC为直角三角形 且CF为斜边 ∴EF⊥EC
（三）截长补短法：
例5. 如图甲，△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2，求证：AB＝AC＋CD
分析：此题是证两条线段的和等于第三边，这类型的题我们通常采用截长补短法，①截长法即为在这三条最长的线段截取一段使它等于较短线段中的一条，然后证明剩下的一段等于另一条较短的线段。②补短法即为在较短的一条线段上延长一段，使它们等于最长的线段，然后证明延长的这一线段等于另一条较短的线段。 证明一：截长法：
如图乙，在AB上截取AE＝AC，连结DE
在△ADE和△ADC中
∴△ADE≌△ADC（SAS） ∴DE＝DC，∠AED＝∠C
∵∠C＝∠AED＝∠B＋∠BDE＝2∠B ∴∠EBD＝∠EDB ∴BE＝DE ∴BE＝DC
∴AB＝AE＋EB＝AC＋DC 即AB＝AC＋DC 证明二：补短法
如图丙，延长AC至E，使AE＝AB，连结DE
在△ABD和△AED中
∴△ABD≌△AED ∴∠B＝∠E
∵∠ACB＝2∠B＝∠E＋∠EDC ＝∠B＋∠EDC ∴∠E＝∠EDC ∴CD＝CE
∴AB＝AE＝AC＋CE＝AC＋CD 即AB＝AC＋CD
【模拟试题】（答题时间：50分钟）
（一）填空题：
1. 已知一个等腰三角形的一个外角是120°，腰长是a，则它腰上的高是___________。 2. 一直角三角形的两边长是12，5，则第三边长是___________。
3. AB是Rt△ABC的斜边，中线AD＝7，中线BE＝4，则AB＝___________。
4. 已知△ABC≌△DEF，且△DEF的周长为13，若AB＝4，BC＝6，则DF的长是___________。 5. 如图1，已知△ABC是直角三角形，∠C＝90°，∠A＝60°，AB＝8cm，CD是AB边上的高，则AD＝___________，BD＝___________。
图1
6. 如图2，已知AB＝AC＝10cm，AB∥CD，CD⊥AD，若∠B＝75°，则∠DAC＝___________，AD＝___________cm。
图2