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1 矩阵的相似
1.1 定义 1.2性质 1.3定理（证明） 1.4 相似矩阵与若尔当标准形 2 相似的条件
3 相似矩阵的应用（相似矩阵与特征矩阵 相似矩阵与矩阵的对角化 相似矩阵在微分方程中的应用 【1 】）
矩阵的相似及其应用 1.1 矩阵的相似
定义1.1：设A,B为数域P上两个n级矩阵，如果可以找到数域P上的n级可逆矩阵X，使得B?X?1AX，就说A相似于B记作A∽B 1.2 相似的性质
（1）反身性A∽A：；这是因为A?E?1AE.
（2）对称性：如果A∽B，那么B∽A；如果A∽B,那么有X，使B?X?1AX，令Y?X?1，就有A?XBX?1?Y?1BY，所以B∽A。
（3）传递性：如果A∽B，B∽C，那么A∽C。已知有X,Y使B?X?1AX，
C?Y?1BY。令Z?XY，就有C?Y?1X?1AXY?Z?1AZ，因此，A∽C。 1.3 相似矩阵的性质 若A,B?Cn?n，A∽B，则： （1）r(A)?r(B)；
引理：A是一个s?n矩阵，如果P是一个s?s可逆矩阵，那么秩（A）Q是n?n可逆矩阵，
=秩（PA）=秩（AQ）
证明：设A,B相似，即存在数域P上的可逆矩阵C，使得B?C?1AC,由引理2可知，秩
（B）=秩（B?CAC）=秩（AC）=秩（A）
?1（2）设A相似于B，f(x)是任意多项式，则f(A)相似于f(B)，即
P?1AP?B?P?1f(A)P?f(B)
nn?1证明：设f(x)?anx?an?1x?nn?1 于是，f(A)?anA?an?1A?nn?1 f(B)?anB?an?1B?a1x?a0 a1A?a0E a1B?a0E
k 由于A相似于B，则A相似与B，（k为任意正整数），即存在可逆矩阵X,使得
kBk?X?1AkX，
因此 X?1f?A?X?X?1anAn?an?1An?1?nn?1 ?anB?an?1B??a1A?a0E?X
?a1X?1AX?a0E
?1n?1n?1 ?anXAX?an?1XAX?a1B?a0E
?f(B) 所以f(A)相似于f(B)。
（3）相似矩阵有相同的行列式，即A?B,trA?trB；
证明：设A与B相似，即存在数域P上的可逆矩阵C，使得B?C?1AC，两边取行列式
得：B?C?1AC?C?1AC?AC?1C?A，从而相似矩阵有相同的行列式。
又由性质（2）知，A与B有相同的特征多项式，因而有相同的特征值?1,?2,,?n，而
A的迹trA??1??2?矩阵有相同的迹
??n，B的迹trB??1??2???n，从而trA?trB，即相似
（4）A与B有相同的Jordan标准形； （5）相似矩阵同时可逆或同时不可逆。
证明：设A与B相似，由性质2可知A?B，若A可逆，即A?0，从而B?0，故B可逆；若A不可逆，即A=0，从而B=0,故B不可逆。 （6）若
?1证明：A与B相似，即存在可逆矩阵P,使得B?PAP,C与D相似，即存在可逆矩阵Q,
A与B相似，B与D相似，则??A0??B0??与??相似。
?0C??0D??B0??P?10??A0??P0?使得D?QCQ，由于??=???? ?1??0D0C0Q0Q?????????1?P0??A0??P0? =??????
0Q0C0Q???????1?A0??B0??P0?显然??与??相似。 ?是可逆矩阵。由此可见，则?0C0D0Q??????
定理1.1：线性变换在不同基下所对应的矩阵是相似的；反过来，如果两个矩阵相似，那么它们可以看作同一个线性变换在两组基下所对应的矩阵。
证明：先证前一部分。设线性空间V中线性变换A 在两组基：
?1,?2,,?n （1） ?1,?2,.,?n（2）
下的矩阵分别为A和B,从基⑴到基⑵的过渡矩阵为X，则：
(A?1,A?2,(A?1,A?2,(?1,?2,于
是
,A?n)?(?1,?2,.,A?n)?(?1,?2,,?n)A， ,?n)B
,?n)?(?1,?2,.
,?n)X
,A?n)?A(?1,?2,,?n)?A[(?1,?2,.,?n)X]
(A?1,A?2,?(A?1,A?2,,A?n)X ?(?1,?2,?1,.?n)AX ?(?1,?2,.,?n)X?1AX
由此可得 B?XAX
现在证后一部分。设n级矩阵A和B相似，那么它们可以 看作是n维线性空间V中一个线性变换 在基?1,?2,.的矩阵。因为B?X?1AX，令：
(?1,?2,,?n)?(?1,?2,,.?n)X,显然，?1,?2,?n 也是一组基，A在这组基下的
,?n下
矩阵
就是B。
??1?例一：证明????1,2,?2???i1???与??????n????i2???相似，其中 i,i,12???in??,in是
,n的一个排列。
证明：设：
A(?1,?2,?n)??(?1,?2,??1??n)?????2??????n?，则
A(?1?,2?n,???,?)1??i1??(?n2?????,i2???1???,,，.因为)??????in????2???和???n???i1??????
?i2???是线性变换A在不同基下的矩阵，故它们相似。 ???in??定理2.1：设A,B是数域P上的两个n级矩阵，A与B相似的充要条件是它们的特征矩阵
?E?A和?E?B等价。
?bca??cab?????例一：设a,b,c是实数，A?cab，B?abc,证明A与B相似。
?????abc??bca?????证明：
?a??b??c??b????b?c??a???c?a??????E?A???c??a?b??c??a?b??b?c??a??????
??a???b?c??a??b?c??b??c??a????????b????c?a?????a??b?c???E?B ??b?c??a???
故?E?A和?E?B等价，从而A∽B
3，矩阵相似的应用 3.1相似矩阵与特征矩阵
定义3.1.1：把矩阵A（或线性变换A ）的每个次数大于零的不变因子分解成互相同的一次因式方幂的乘积，所有这些一次因式方幂（相同的必须按出现的次数计算）称为矩阵A（或线性变换A ）的初等因子。
定理3.1.1：数域F上的方阵A与B相似的充要条件是?E?A和?E?B有相同的列式因子。
定理3.1.2：两个同级复数矩阵相似充要条件是它们有相同的初等因子。
例1：证明：任何方阵A与其转置方阵A? 相似。
证明：因为?E?A与?E?A? 互为转置矩阵，它们对应k阶子式互为转置行列式，故相等。从而两者有完全相同的各阶行列式因子，于是两者有完全相同的不变因子。故?E?A与?E?A? 等价，从而A与A? 相似。
例2：证明：相似方阵有相同的最小的多项式。
证法一：设A与B相似，即可存在可逆矩阵Q，使B?Q?1AQ，又设A与B的最小