发布时间 : 星期日 文章2017-2018学年高中数学（苏教版）选修1-1讲学案：第二章 2.2 椭圆更新完毕开始阅读
2．2椭__圆
2．2.1 椭圆的标准方程
在平面直角坐标系中，已知A(－2,0)，B(2,0)，C(0,2)，D(0，－2)．
问题1：若动点P满足PA＋PB＝6，设P的坐标为(x，y)，则x，y满足的关系式是什么？ 提示：由两点间距离公式得 ?x＋2?2＋y2＋?x－2?2＋y2＝6， x2y2
化简得＋＝1.
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问题2：若动点P满足PC＋PD＝6，设P的坐标为(x，y)，则x、y满足什么关系？ 提示：由两点间距离公式得 x2＋?y－2?2＋y2x2
化简得＋＝1.
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椭圆的标准方程
标准方程 焦点坐标 a、b、c的关系
1．标准方程中的两个参数a和b，确定了椭圆的形状和大小，是椭圆的定形条件．a，b，c三者之间a最大，b，c大小不确定，且满足a2＝b2＋c2.
2．两种形式的标准方程具有共同的特征：方程右边为1，左边是两个非负分式的和，并且分母为不相等的正值．当椭圆焦点在x轴上时，含x项的分母大；当椭圆焦点在y轴上时，含y项的分母大，已知椭圆的方程解题时，应特别注意a>b>0这个条件．
焦点在x轴上 x2y2＋＝1(a＞b＞0) a2b2(±c,0) c2＝a2－b2 焦点在y轴上 y2x2＋＝1(a＞b＞0) a2b2(0，±c) x2＋?y＋2?2＝6，
[对应学生用书P20]
[例1] 求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)经过两点(2，－2)，?－1，待定系数法求椭圆标准方程 ?
14?； 2?y2x2
(2)过点(3，－5)，且与椭圆＋＝1有相同的焦点．
259
[思路点拨] (1)由于椭圆焦点的位置不确定，故可分焦点在x轴上和在y轴上两种情况进行讨论．也可利用椭圆的一般方程Ax2＋By2＝1(其中A>0，B>0，A≠B)，直接求A，B.(2)求出焦点，然后设出相应方程，将点(3，－5)代入，即可求出a，b，则标准方程易得．
[精解详析] (1)法一：若焦点在x轴上，设椭圆的标准方程为 x2y2
＋＝1(a>b>0)． a2b2?
由已知条件得?114
?a＋4b＝1，
2242
＋＝1，a2b2
?解得?11
?b＝4.211＝，a28
x2y2
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
84若焦点在y轴上，设椭圆的标准方程为 y2x2
＋＝1(a>b>0)． a2b2?
由已知条件得?114
?b＋4a＝1，
2242
＋＝1，b2a2?解得?11
?a＝4.211＝，b28
即a2＝4，b2＝8，则a2
综上，所求椭圆的标准方程为＋＝1.
84
?－1，法二：设椭圆的一般方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)．将两点(2，－2)，
?
代入，
14?2???
得?解得?14
1A＋B＝1，?4?B＝?4，
?4A＋2B＝1，
1A＝，
8
x2y2
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
84
y2x2
(2)因为所求椭圆与椭圆＋＝1的焦点相同，
259所以其焦点在y轴上，且c2＝25－9＝16. y2x2
设它的标准方程为2＋2＝1(a>b>0)．
ab因为c2＝16，且c2＝a2－b2，故a2－b2＝16.① 又点(3，－5)在椭圆上，所以53
即2＋2＝1.② ab
由①②得b2＝4，a2＝20，
y2x2
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
204[一点通] 求椭圆标准方程的一般步骤为：
1．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)两个焦点的坐标分别为(－4,0)，(4,0)，且椭圆经过点(5,0)； 11?1，，Q?0，－?. (2)经过两点P?2??33??解：(1)由已知得：c＝4，a＝5. b2＝a2－c2＝25－16＝9. x2y2
故所求椭圆方程为＋＝1.
259
(2)设椭圆方程为Ax2＋By2＝1.(A>0，B>0，A≠B) 由已知得，
(－5)2
a2?3?2
＋2＝1，
b
??1
?4B＝1，
11
A＋B＝1，99
??B＝4，
解得：?
A＝5，??
y2x2
故所求椭圆方程为＋＝1.
11452．求适合下列条件的椭圆的方程． (1)焦点在x轴上，且经过点(2,0)和点(0,1)；
(2)焦点在y轴上，与y轴的一个交点为P(0，－10)，P到它较近的一个焦点的距离等于2.
解：(1)因为椭圆的焦点在x轴上，
x2y2
所以可设它的标准方程为2＋2＝1(a>b>0)．
ab∵椭圆经过点(2,0)和(0,1)，
?∴?01
?a＋b＝1，
22220
＋＝1，a2b2
2??a＝4，∴?
2??b＝1，
x22
故所求椭圆的标准方程为＋y＝1.
4
y2x2
(2)∵椭圆的焦点在y轴上，所以可设它的标准方程为2＋2＝1(a>b>0)．
ab∵P(0，－10)在椭圆上，∴a＝10.
又∵P到它较近的一个焦点的距离等于2， ∴－c－(－10)＝2，故c＝8， ∴b2＝a2－c2＝36，
y2x2
∴所求椭圆的标准方程是＋＝1.
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[例2] 已知方程x2·sin α－y2·cos α＝1(0≤α≤2π)表示椭圆． (1)若椭圆的焦点在x轴上，求α的取值范围． (2)若椭圆的焦点在y轴上，求α的取值范围．
椭圆标准方程的讨论