发布时间 : 星期六 文章人教课标版高中数学选修2-1《立体几何中的向量方法(第3课时)》教案-新版更新完毕开始阅读
（2）在解决上述问题时,能建系的题目先建系,正确求出直线的方向向量和平面的法向量。 （3）注意证明线面垂直时，平面上两向量必须相交。 （三）课后作业 基础型 自主突破
1．已知三条直线l1,l2,l3的一个方向向量分别为a??4,?1,0?,b??1,4,5?,c???3,12,?9?，则( ) A．l1⊥l2，但l1与l3不垂直 B．l1⊥l3，但l1与l2不垂直 C．l2⊥l3，但l2与l1不垂直 D．l1，l2，l3两两互相垂直 答案：A．
解析：【知识点】向量法判断线线关系． 【解题过程】
∵ab＝(4,－1,0)·(1,4,5)＝4－4＋0＝0，
ac＝(4,－1,0)·( －3,12,－9)＝－12－12＝－24≠0. bc＝(1,4,5)·(－3,12,－9)＝－3＋48－45＝0， ∴a?b,b?c，a与c不垂直， ∴l1⊥l2，l2⊥l3，但l1不垂直于l3. 点拨：判断直线方向向量间的位置关系．
3．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，若E为A1C1的中点，则直线CE垂直于( ) A．AC B．BD C．A1D D．A1A 答案：B．
解析：【知识点】向量法判断线线关系． 【解题过程】
如图，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Dxyz.设正方体的棱长为2，
→＝(1，－1,2)，AC→＝(－
则C(0,2,0)，A1(2,0,2)，D(0,0,0)，E(1,1,2)，A(2,0,0)，B(2,2,0)CE
→＝(2,2,0)，A→→→AC→＝－2－2＋0＝－4≠0，
2,2,0)，DB1D＝(2,0,2)，AA1＝(0,0,2).CE·→·→＝1×∴CE与AC不垂直，CEDB2＋(－1)×2＋2×0＝0， ∴CE⊥BD.故选B.
点拨：判断直线方向向量间的位置关系．
3．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F、G、H分别为AB、CC1、A1D1、C1D1的中点，下列结论中，错误的是( ) A．A1E⊥AC1 B．BF∥平面ADD1A1 C．BF⊥DG D．A1E∥CH 答案：A
解析：【知识点】利用方向向量和法向量判断位置关系 【解题过程】
解：设正方体棱长为1，以D为原点，DA、DC、DD1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
1111
则A1(1,0,1)，E(1，2，0)，C(0,1,0)，F(0,1，2)，C1(0,1,1)，H(0，2，1)，G(2，0,1)，1→
A(1,0,0)，B(1,1,0)，∴A1E＝(0，，－1)， 2
111→→→→
AC1＝(－1,1,1)，BF＝(－1,0，2)，DG＝(2，0,1)，CH＝(0，－2，1)． 平面ADD1A1的一个法向量为v＝(0,1,0)， →→＝－1，BF→·＝0， ∴AACv1E·1
2→·→＝0，A→→BFDG1E＝－CH．
∴B、C、D成立，A不成立，故选A． 点拨：回忆定义，辨析正误
4. 已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果AB＝(2，－1，－4)，AD＝(4,2,0)，
AP＝(－1,2，－1)．有结论：①AP⊥AB；②AP⊥AD；③AP是平面ABCD的法向量；④AP∥
BD.其中正确的是________．(填序号)
【知识点】向量法判断垂直关系． 【解题过程】
解析：因为AP·2＋(－1)×2＋(－4)×(－1)＝0，AP·(－1)＋2×2＋0×(－1)＝AB＝－1×AD＝4×0，所以AP⊥AB，AP⊥AD.又AB∩AD=A，所以AP⊥平面ABCD，即AP是平面ABCD的法向量，BD?平面ABCD，所以AP⊥BD. 故①②③正确．
点拨：判断直线方向向量间的位置关系． 答案：①②③．
5．在空间直角坐标系Oxyz中，已知点P(2cos x＋1,2cos 2x＋2,0)和点Q(cos x，－1,3)，其中
x?[0,?]，若直线OP与直线OQ垂直，则x的值为________．
ππ答案：2或3．
解析：【知识点】向量法判断垂直关系． 【解题过程】
由OP⊥OQ，得OP·OQ＝0.
即(2cos x＋1)·cos x＋(2cos 2x＋2)·(－1)＝0. 1∴cos x＝0或cos x＝2. ππ
∵x?[0,?]，∴x＝2或x＝3.
点拨：判断直线方向向量间的位置关系．
1
6.已知三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA＝AC＝2AB，N为AB上一点，AB＝4AN，M，S分别为PB，BC的中点． 证明：CM⊥SN. 答案：见解析
解析：【知识点】向量法证明线线垂直关系． 【解题过程】
证明：设PA＝1，以A为原点，AB，AC，AP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系如图．
则P(0,0,1)，C(0,1,0)，B(2,0,0)，
111M(1,0)，N(,0,0)，S(1,,0).
222→＝(1,?1,1)， CM
2→＝(?1,?1,0)， SN
22→·→＝－1＋1＋0＝0， 因为CMSN
22所以CM⊥SN.
点拨：判断直线方向向量间的位置关系． 能力型 师生共研
7.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．