发布时间 : 星期一 文章高考文科数学一轮复习专题6：函数的奇偶性和周期性更新完毕开始阅读
专题6：函数的奇偶性与周期性
【考试要求】
1、结合具体函数，了解函数奇偶性的定义。 2、会运用函数图像理解和研究函数的奇偶性。
3、了解函数的周期性、最小正周期的含义，会判断、会应用简单函数的周期性。
【知识要点】
1、函数的奇偶性
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有 ，那么函数f(x)是偶函数。偶函数图像关于 对称。
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有 ，那么函数f(x)是奇函数。奇函数图像关于 对称。
思考：如果f(x)是奇函数，一定有f(0)?0么？
感悟：不能说明奇函数f(x)一定要f(0)?0，因为在x?0这个点不一定有定义。
2、周期性
对于函数y?f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x?T)? ，那么就称y?f(x)为周期函数，T为这个函数的周期。
如果周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个正数就叫做f(x)的最小正周期。
思考：周期函数f(x)的周期和最小正周期有什么联系？
感悟：设最小正周期为T0，周期为T，则有关系T?nT0(n?Z,n?0)
【考点精练】
考点一：函数的奇偶性
1、下列函数是偶函数的是（ ）
A、y?sinx B、y?x C、y?e D、y?ln
2、若函数f(x)?3?3与g(x)?3?3的定义域均为R，则 A、f(x)与g(x)均为偶函数 B、f(x)为偶函数，g(x)为奇函数 C、f(x)与g(x)均为奇函数 D、f(x)为奇函数，g(x)为偶函数
3、设f(x)是定义在R上的奇函数，当x?0时，f(x)?2?2x?b（b为常数），则f(?1)? 。
4、讨论下列函数的奇偶性 （1）f(x)?x(x?1)；
2xx?xx?x3xx2?1
（2）f(x)?(x?1)1?x； 1?x??x2?2x?1,x?0（3）f(x)??2
?x?2x?1,x?04?x2（4）f(x)?
x?3?3
规律总结：
1、利用定义判断奇偶性的方法： （1）首先求函数的定义域，只有定义域关于原点对称才能继续讨论奇偶性，否则这个函数非奇非偶；
（2）在定义域关于原点对称的前提下，计算f(?x)，看f(?x)?f(x)还是f(?x)??f(x)或者两者都不是，如果f(?x)?f(x)，那么是偶函数；如果f(?x)??f(x)，那么是奇函数；
2、如果已知函数奇偶性以及一半区间的函数解析式，应利用f(?x)?f(x)或f(?x)??f(x)的关系来求另一半函数的解析式。
考点二：函数的周期性
1、若f(x)是周期为5的奇函数，且满足f(1)?1，f(2)?2，则f(3)?f(4)等于（ ） A、?1 B、1 C、?2 D、2
2、已知f(x)在R上为奇函数，并满足f(x?2)??f(x)，当x?(?2,0)时，f(x)?2x，则f(2013)?（ ）
A、?2 B、2 C、?18 D、18
3、已知f(x)是定义在R上的偶函数，并满足f(x?2)??21，当1?x?2时，f(x)?x?2，则f(x)f(6.5)? 。
4、已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x?4)??f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则（ ） A、f(?25)?f(11)?f(80) B、f(80)?f(11)?f(?25) C、f(11)?f(80)?f(?25) D、f(?25)?f(80)?f(11)
规律总结：
求函数周期的方法：
（1）三角函数周期：化成f(x)?Asin(?x??)形式，则最小正周期为T?2??
（2）递推法：若f(x?a)??f(x)，则f(x?2a)?f[(x?a)?a]??f(x?a)?f(x)，因此周期
T?2a；
（3）换元法：若f(x?a)?f(x?a)，令x?a?t，则x?t?a，因此f(t)?f(t?2a)，即周期是2a；
考点三：函数性质的综合应用
1、下列函数中，既是偶函数，又在(0,??)上单调递减的是（ ）
x2A、y?x?cosx B、y??x C、y?lg2 D、y?2 x2、f(x)是定义在R上的以3为周期的奇函数，且f(2)?0，则方程f(x)?0在区间(0,6)内解的个数最小值是（ ）
A、7 B、6 C、5 D、4
3、已知偶函数f(x)在区间[0,??)上单调递增，则满足f(2x?1)?f()的x取值范围是（ ） A、(,) B、[,) C、(,) D、[,)
4、设f(x)是定义在R上的偶函数，其图像关于直线x?1对称，对任意x1,x2?[0,]，都有
13123312331223122312f(x1?x2)?f(x1)?f(x2)，且f(1)?a?0
（1）求f()和f()； （2）证明：f(x)是周期函数。
规律总结：
1、因为奇函数的图像关于原点对称，所以在区间(a,b)和区间(?b,?a)上的单调性相同；而偶函数由于关于y轴对称，所以在区间(a,b)和区间(?b,?a)上的单调性相反；
2、对于抽象函数不等式，往往通过函数的奇偶性将其转化为f(x1)?f(x2)的形式，再利用函数的单调性脱去函数符号“f”进行求解。
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