发布时间 : 星期三 文章2017年 上海市高考数学试卷更新完毕开始阅读
（3）设C（2cosα，sinα）， ∵→AQ=2→AC，A（0，1），
∴Q（4cosα，2sinα﹣1）. 又设P（2cosβ，sinβ），M（x0，0），
∵|MA|=|MP|，∴x02+1=（2cosβ﹣x0）2+（sinβ）2， 3
整理得x0=cosβ.
4
→（-5cosβ，﹣sinβ）→， ∵→PQ=（4cosα﹣2cosβ，2sinα﹣sinβ﹣1），PM=，→PQ=4PM
4∴4cosα﹣2cosβ=﹣5cosβ，2sinα﹣sinβ﹣1=﹣4sinβ. 41
∴cosβ=﹣cosα，sinβ=（1﹣2sinα）.
33
以上两式平方相加，整理得3（sinα）2+sinα﹣2=0， 2
∴sinα=或sinα=﹣1（舍去）.
3
sinα-15
此时，直线AC的斜率kAC==（负值已舍去），如图．
2cosα10∴直线AQ的方程为为y=
5
x+1． 10
21．设定义在R上的函数f（x）满足：对于任意的x1，x2∈R，当x1＜x2时，都有f（x1）≤f
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（x2）．
（1）若f（x）=ax3+1，求a的取值范围；
（2）若f（x）是周期函数，证明：f（x）是常值函数；
（3）设f（x）恒大于零，g（x）是定义在R上的恒大于零的周期函数，M是g（x）的最大值．函数h（x）=f（x）g（x）．证明：“h（x）是周期函数”的充要条件是“f（x）是常值函数”． 21.【解析】（1）由f（x1）≤f（x2），得f（x1）﹣f（x2）=a（x13﹣x23）≤0， ∵x1＜x2，∴x13﹣x23＜0，得a≥0． 故a的取值范围是[0，+∞）.
（2）证明：若f（x）是周期函数，记其周期为Tk，任取x0∈R，则有 f（x0）=f（x0+Tk）.
由题意，对任意x∈[x0，x0+Tk]，f（x0）≤f（x）≤f（x0+Tk）， ∴f（x0）=f（x）=f（x0+Tk）． 又∵f（x0）=f（x0+nTk），n∈Z，并且
…∪[x0﹣3Tk，x0﹣2Tk]∪[x0﹣2Tk，x0﹣Tk]∪[x0﹣Tk，x0]∪[x0，x0+Tk]∪[x0+Tk，x0+2Tk]∪…=R，
∴对任意x∈R，f（x）=f（x0）=C，为常数.
（3）证明：(充分性)若f（x）是常值函数，记f（x）=c1，设g（x）的一个周期为Tg，则h（x）=c1?g（x），对任意x0∈R，h（x0+Tg）=c1?g（x0+Tg）=c1?g（x0）=h（x0），故h（x）是周期函数.
(必要性)若h（x）是周期函数，记其一个周期为Th．
若存在x1，x2，使得f（x1）＞0，且f（x2）＜0，则由题意可知， x1＞x2，那么必然存在正整数N1，使得x2+N1Tk＞x1， ∴f（x2+N1Tk）＞f（x1）＞0，且h（x2+N1Tk）=h（x2）． 又h（x2）=g（x2）f（x2）＜0，而
h（x2+N1Tk）=g（x2+N1Tk）f（x2+N1Tk）＞0≠h（x2），矛盾． 综上，f（x）＞0恒成立． 由f（x）＞0恒成立，
任取x0∈A，则必存在N2∈N，使得x0﹣N2Th≤x0﹣Tg， 即[x0﹣Tg，x0]?[x0﹣N2Th，x0]，
∵…∪[x0﹣3Tk，x0﹣2Tk]∪[x0﹣2Tk，x0﹣Tk]∪[x0﹣Tk，x0]∪[x0，x0+Tk]∪[x0+Tk，x0+2Tk]∪…=R，
∴…∪[x0﹣2N2Th，x0﹣N2Th]∪[x0﹣N2Th，x0]∪[x0，x0+N2Th]∪[x0+N2Th，x0+2N2Th]∪…=R． h（x0）=g（x0）?f（x0）=h（x0﹣N2Th）=g（x0﹣N2Th）?f（x0﹣N2Th）， ∵g（x0）=M≥g（x0﹣N2Th）＞0，f（x0）≥f（x0﹣N2Th）＞0． 因此若h（x0）=h（x0﹣N2Th），必有g（x0）=M=g（x0﹣N2Th），且f（x0）=f（x0﹣N2Th）=c．
而由（2）证明可知，对任意x∈R，f（x）=f（x0）=C，为常数． 必要性得证．
综上所述，“h（x）是周期函数”的充要条件是“f（x）是常值函数”．
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